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2023年12月24日发(作者：cute翻译)

对勾函数

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像（ab同号）

当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

对勾函数的图像（ab异号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式能够得到：

的图象与性质

当x>0时，当x<0时，。

。

即对勾函数的定点坐标：

(三) 对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性

y

(五) 对勾函数的渐进线

y=ax

由图像我们不难得到：

O

X

(六)

对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，

二、关于求函数yxx0最小值的解法

1. 均值不等式

1xx0，yx2.

法

11。当x1的时候，ymin2

2，当且仅当x，即x1的时候不等式取到“=”xxyx1x2yx10

x2若y的最小值存有，则y40必需存有，即y2或y2（舍）

找到使y2时，存有相对应的x即可。通过观察当x1的时候，ymin2

3. 单调性定义

x1x21

1设0x1x2

fxfxxx11xxxx121212121x1x2x1x2x1x2当对于任意的x1,x2，只有x1,x20,1时，fx1fx20，此时fx单调递增；

当对于任意的x1,x2，只有x1,x21,时，fx1fx20，此时fx单调递减。

当x1取到最小值，yminf12

4. 复合函数的单调性

11yxx2

xx2

tx1x在0,单调递增，yt2在,0单调递减；在0,单调递增

2又x0,1t,0

x1,t0,

原函数在0,1上单调递减；在1,上单调递增

即当x1取到最小值，yminf12

四、例题解析：

例1、已知函数 ，

fxx7x(1).x1,2,求fx的值域.

解:函数f(x)x(2).x2,4,求fx的最小值.(3).x7,3,求fx的值域.

7在0,7,7,0递减x 在7,,,7递增(1).在x1,2是减函数 f(2)f(x)f(1) 即11f(x)8 值域为 , 822



(2).分析知x72,4, f(x)的最小值为f(7) f(x)在x2,4最小值为27

(3).在x7,3是增函数 f(7)f(x)f(3) 即-8f(x)1616 x7,3值域为8, -33x25练习：2.已知函数

x

2

f

x4,求f(x)的最小值,并求此时的x值.

3建筑一个容积为800米3,深8米的长方体水池(无盖).池壁,池底造价分别为a元/米2和2a元/ 米2.底面一边长为x米,总造价为y.写出y与x的函数式,问底面边长x为何值时总造价y最低,是多少?

五、重点（窍门）

其实对勾函数的一般形式是：

f(x)=ax+b/x(a>0)

定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）

值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）

当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a

当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a

对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：

设x1

下面分情况讨论

⑴当x10,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）

⑵当-根号a0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数

⑶当00，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数

⑷当根号a0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）

解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。


本文标签： 函数 单调 性质 均值 图象

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