高中数学——用几何画板研究函数图象

高中数学校本课程------

用几何画板研究函数图象

（与高中数学必修一配套使用）

主编： 王玉洁 陈梅 邹玲

前言

数学是研究空间形式和数量关系的科学，《普通高中数学课程标准》（2011年版）指出：数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。课程标准把 注重信息技术与数学课程的整合作为课程的基本理念之一， 现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。鉴于此，我们编写了《用几何画板作图》系列丛书，本册为《用几何画板研究函数图象》，供普通高中高一学生上学期学习使用。

本册《用几何画板研究函数图象》主要特点是注意了几何画板的工具性，本册不是系统讲解几何画板的教程，而仅仅把几何画板作为研究函数图象的一个工具，目的是通过几何画板作图让学生更好地抓住函数的本质，认识函数的性质。考虑到高中学生学习时间的限制，本册仅把几何画板的部分必要功能给学生做出介绍，其他功能放在拓展资源中，供学有余力的学生学习使用。

本册使用说明：本册可与普通高中数学必修一配套使用，建议一周一个课时，本册分为两个章节，第一章共三讲，主要包括几何画板的简介、部分功能介绍、作图步骤及演例等预备知识。第二章共七讲，根据高中数学必修一教材对函数内容的呈现顺序，依次对一次函数、二次函数、对勾函数、指数函数、对数函数、指、对数函数关系、幂函数等函数图象进行研究。整个编排的设计符合学生的学

习兴趣和学习心理，便于学生在教师指导下自学和探究。

由于水平有限，加之编写时间仓促，本资源难免有疏漏之处，恳请读者提出宝贵意见和建议，以便于我们今后进一步修改完善。

2013年3月

第一章 几何画板入门

第一讲 几何画板功能及菜单简介--------6

第二讲 如何用程序语言表示函数--------9

第三讲 几何画板画图步骤及演例--------21

第二章 用几何画板研究函数图象

第一讲 一次函数图象的研究---------25

第二讲 二次函数图象的研究---------28

第三讲 对勾函数图象的研究----------33

第四讲 指数函数图象的研究----------36

第五讲 对数函数图象的研究----------39

第六讲 指、对数函数关系的研究------42

第七讲 幂函数图象的研究------------46

拓展资料

几何画板其他功能简介---------------52

第一章 几何画板入门

第一讲 几何画板简介及安装启动

一、几何画板是什么

几何画板是一个优秀的专业学科平台软件，代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。它是以数学为根本，以“几何动态”为特色来动态表现设计者的思想，供用户探索几何奥妙的一个新工具。该软件短小精悍，功能强大，开发的软件具有精确的数字化描述和动态的参数交互功能，能够动态表现相关对象的关系。

1 电子作图工具

几何画板可以作为电子作图工具，利用它的工具箱提供的工具，模拟直尺、三角板、圆规，作出点、线段、射线、直线和圆等几何图形，并可以在各几何元素旁标注字母，也可以在画板上任何地方注释文字。

2 动态演示工具

几何画板能够准确动态地表现问题，为充分展现几何元素在运动状态下保持几何关系的不变性，提供了方便的动态演示，使传统教学中只能在黑板上静态表现的结果变成动态的展示过程，从而使学生对一些几何性质和定理的理解更快更深刻。

3 显示和探求轨迹的工具

轨迹是几何中一个重要知识点，且又是一个难点，主要难在需要用动态的观点看几何图形。但过去的课堂教学中，一般是借助于静态的图形或简单的教具进行讲解，学生只能根据对问题的分析和最终的结果去想象出轨迹生成的过程，如

果学生的想象能力差一点，理解这部分的内容就会更难。而利用几何画板的动态功能可直观地演示出轨迹的生成过程，不仅使分析、过程、结果都一目了然，而且便于整体把握教学内在规律，还可以由此发现许多新的规律。

4 课件开发工具

几何画板又可以作为课件开发的工具，而且它与一般的CAI写作工具软件不同，几何画板不需要开发者有程序设计知识，它所需要的仅仅是一定的数学知识，特别是几何建构思想即可。利用体统的动画功能可以制作动态的教学过程，使原本抽象、枯燥的内容变得具体、生动、活泼，充分展示了数学的美。

5 良好的学具

几何画板为学生提供一个自由的、开阔的、十分理想的“做数学”的环境，几何画板本身就是一个很好地几何情境，它可以作为学生研究几何关系，猜测、发现和验证几何方法，探索几何规律的一个电子“实验室”，在这个“实验室”中，学生可以在画板上画出各种几何图形，系统利用它所存储的几何定理和公式，自动显示出这些图形之间的关系，学生从中就可以验证有关的几何性质，接受并理解相关的知识。

二、几何画板安装、启动和退出

1 系统配置

几何画板工作环境为中文或带有中文平台的Windows 9.x，32MB以上主机内存，40MB以上硬盘和光驱启动器。本资源是以中文Windows 98 作为几何画板的工作环境进行讲解的。

2 几何画板的安装步骤

（1）安装几何画板，首先双击文件“”图标，安装密码：“welcome-to-”；在后面弹出的对话框中，单击“Next”

按钮，安装几何画板英文版。

（2）双击文件“Updatel”图标，在后面弹出的几个对话框中，单击“Next”按钮，安装几何画板4.03英文版升级版。

3 启动几何画板

几何画板的启动与其他软件的启动类似，单击“开始”按钮，选择“程序”的“GSP4.04”菜单命令，或者双击屏幕上的几何画板快捷图标，就可以进入几何画板的使用窗口界面，在屏幕空白处单击鼠标，屏幕中间的版本信息消失，如5秒内无任何输入，版本信息也自动消失。

4 画板窗口

窗口第一行是标题栏，第二行是菜单栏，第二行下面是工作区，窗口左侧是工具栏，工作区下面是文本工具栏和数学符号面板。刚进入几何画板时，计算机在工作区中自动打开一个标题为“未命名1”的画板文件，其默认扩展名是.gsp。窗口最下面是状态栏，显示当前工作状态。

画板窗口最左边的一列有6个小的正方形图形，是作图的工具，从上到下分别称为：选择工具、点工具、圆规工具、直线工具、文本工具和自定义工具，总称为工具箱。

5.退出几何画板

退出几何画板的方法与一般Windows应用程序的退出方法相同。只要双击画板窗口左上角的“控制”按钮或单击画板窗口右上角的“关闭”按钮或打开“文件”菜单，选定“退出”选项，就可以退出几何画板。

第二讲 几何画板部分功能及菜单简介

几何画板功能强大，主要分为绘制基本几何图形、构造几何关系、测量与计算、轨迹、动画、变换、脚本、立体几何图形的直观图、图形变化等功能，本讲仅根据后续学习的需要，主要介绍绘制基本几何图形、构造几何关系、测量与计算、轨迹等功能，其他功能放在拓展资料部分里讲解，以供有兴趣的同学参考学习。

■绘制基本几何图形

利用《几何画板》可以绘制各种基本的几何图形。例如点、线段、射线、直线、圆、垂线、平行线等。

一、建立新画板

制作一个画板文件（也称为课件），第一步是建立一个新画板。操作步骤如下（如果是刚进入《几何画板》，系统已自动打开一个新画板窗口，下面步骤可以省略）：单击“文件”菜单，屏幕出现一个下拉式子菜单；把鼠标指针移到子菜单（这个操作以后简称为打开“文件”菜单）；把鼠标移到子菜单的第一行“N新画板”上，单击鼠标左键（这个操作以后简称为单击）；屏幕《几何画板》窗口内部出现新窗口，这就是新画板。如果大小不合适，可以用窗口操作，进行放大或缩小。

二、基本几何图形的绘制

绘制基本图形的基本步骤相同，都是先选定画图工具，然后在画板上绘制。

1、画点

工具箱第二个图标，即中间画有一个小圆点的图标，称为“画点工具”。单击该图标，使它成红底显示，就选定了画点的功能。再把鼠标指针移到画板上要画点处单击，指针就出现一个小的空心圆点，就表示在该处画了一个点。只要选定的画点功能不变（画点工具为红底显示），用同样方法，可以在画板上画多更多的点。

如果有的点画得不合适，要删除它，只要先按下ctrl键不放，用鼠标单击这个点，这时该点周围出现一小圆，表示它被选定为当前目标，再按Delete键，这个点就被删除。另外，几何画版还有撤消功能，快捷键是”CTRL+Z”

2、画圆

工具箱第三个图标，即画有一个圆的图标，称为“画圆工具”。单击该图标，使它变为红底显示，表示当前选定了画圆的功能。在平面几何中，已知圆心位置和半径可以决定一个圆，《几何画板》中也遵循这个原则。把鼠标指针移到要画圆的圆心位置，按下鼠标左键不放，画板上原指针就会出现一个点，表示圆心，然后拖动鼠标，圆心周围出现一个圆，该圆会随着指针离圆心的距离不同而不同。把鼠标拖到合适位置后放开鼠标左键，一个圆就出现在画版上。圆的中间有一个小圆点表示圆心，圆上也有一个小圆点，称为圆上的点，它与圆心的距离表示圆的半径只要选定的画点功能不变，用同样方法，可以在画板上画更多的圆。如果有的圆画得不合适，要删除它，只要先按下ctrl键不放，用鼠标单击圆周上的点，再按Delete键，圆和定点就被删除，剩下的圆心，按删除点的办法删除。

3、 画线

工具箱第四个图标，即画有一个斜线的图标，称为“画线工具”。单击该图标，使它变为红底显示，表示当前选定了画圆的功能。几何画版中的“线”有三种类型：线段、射线、直线。将指针移到画线工具上，按下左键不放，约一秒后右边就会出现将指针拖动到其中一个图标上，放开左键，原工具箱中的画线图标就变成了你选定的图标。

画线段：按上述方法选定画线段工具，将指针移到要画线段的一个端点处，按鼠标左键不动并拖动鼠标到线段的另一个端点处，放开左键，一条线段就画成了。

画射线：按上述方法选定画射线工具，将指针移到要画线段的起始端点处，按鼠标左键不动并拖动鼠标到射线的另一个端点处，放开左键，一条射线就画成了。

画直线：按上述方法选定画直线工具，将指针移到要画直线的一个端点处，按鼠标左键不动并拖动鼠标到直线的另一个端点处，放开左键，一条直线就画成了。

如果有的线画得不合适，要删除它，只要先按下ctrl键不放，用鼠标单击该线上的任意点，再按Delete键，线就被删除，剩下决定线的点，按删除点的办法删除。

三、标注字母

单击工具箱第五个画有伸出一个食指的手的图标，就选定了文本工具。只要这只手的手指尖移到要标注的点上单击，该点旁就显示出标注的字母。该字母是几何画版自动按A、B、C、等给的，不合适，可双击要修改的字母。标注位置

不合适可用鼠标拖动到其它位置。标注的字体、字型、颜色，可单击鼠标右键，用所显示出的快捷菜单来设置。

四、修改图形的位置和大小

无论修改哪种图形元素，都必须在“选择”工具的状态下。它是工具箱的第一个图标，选定方法与前类似。

改点：将鼠标移到该点上，按下鼠标左键不放，这时该点外部出现一个小圆，表示该点被选中，拖动鼠标，该点随着鼠标移动，到达合适的位置，放开左键，选中的点就移到新位置了。

改圆：要修改圆的位置，只要将鼠标移到圆周上，然后与移动点位置一样进行操作。移动圆心点和圆上代表半径的大小的那个“圆上关键点”，则相应地改变圆心的位置和半径的大小。

练习：

1、画三个过同一点的圆，拖动其中任一个，观察是否保持几何关系。

■构造几何关系

一、平行线

同时选定直线和直线外一点（方法是：单击选择工具后，按下SHIFT键不放，用鼠标单击直线和直线外一点，点的外围有一个小圆，而直线上增加两个小黑方点，表示它们被选中了）。单击“作图”菜单中“平行线”命令，在画板上就画

出了过直线外一点与直线平行的直线。平行线的前提条件是：一个点和一个或多个直线型对象，或一直线型对象和一个或多个点。

注：画板中的对象生成后，在你对它进行操作（移动、改变尺寸、删除等）之前，必须选中它。

二、交点：前提条件是两条路径。

三、中点：前提条件是一条或多条线段。

四、线段：前提条件是两个或更多的点。

五、垂线：前提条件是一直线型对象和一个或多个点，或一个点和一个或多个直线型对象。

六、角平分线：前提条件是三个点，第二个点为角的顶点。

七、以圆心和圆周上的点画圆：前提条件是两个点，第一个点是圆心。

八、以圆心和半径画圆：前提条件是一个点和一条线段。

九、圆上的弧：前提条件是三个点。

十、过三点的弧：前提条件是三个点。

十一、内部：前提条件是一组点，一个圆或一条弧。

十二、轨迹：前提条件是一个对象和路径上的一个点。

演示：

1、选取两条线段，然后来回拖动它们。对两个点、三个点、三条线段采取同样方法。

2、画出一个与已构造好的三角形有一条边或一个公共顶点的三角形，观察移动各点和各条线段时发生的现象。

3、选取合适的对象，执行作图菜单中的每条命令。

4、用两条线段生成一个角，然后生成角的平分线。

5、选取一个圆并用作图菜单生成圆的内部。使用显示菜单来观察内部的颜色。如果你选择了不同的颜色会出现什么情况？

问题：

1、如何在屏幕上选取所有的点？

2、假如屏幕上所有的点都被选取了，你怎样释放一个点而其余的点仍被选中？

3、怎样改变三角形的形状？

4、怎样从当前绘图版中清除所有对象？

5、如果已选择了一个点，将如何在选择该点的同时生成另一个点？

6、保持点工具为活动工具的同时，怎样选择一条线段？

7、在不使用线段工具的情况下，怎样生成一条线段？

8、用什么方法能在一条线段上画出它的中点？

■测量和计算

一、测量

1、度量线段的长度

选中要度量长度的线段，然后打开“度量”菜单，选定“L长度”，在画板上出现该线段长度的文字，若位置不合适，可用鼠标左键拖动到适当位置。

前提条件：选定一条线段。

2、距离：前提条件：选定两点或一点一线。

3、斜率：选定一个直线型对象（线段、射线、直线）。

4、半径：选定一个圆、一段弧或一个扇形。

5、圆周长：选定一个圆。

6、面积：选定多边形、圆、扇形或弓形。

7、周长：选定多边形、圆、扇形或弓形。

8、角度：选定三个点，第二个点是角的顶点。

9、弧度角：选定一段弧、一个扇形或一个弓形。

10、弧长：选定一段弧、一个扇形或一个弓形。

11、比：选定两条线段。

12、坐标：选定一个点。

13、方程：选定一个圆或一条直线。

二、计算

应用现有的度量值进行计算。先选定计算中所需的度量值（用SHIFT键可选中多个度量值），然后从度量菜单中选择计算命令。

例：画出抛物线Y=ax2的图象。

步骤：

1、打开一个新画版：按CTRL+N键。

2、显示直角坐标系：打开“图表”菜单，选择“建立坐标轴”命令。

3、标注坐标原点和单位点：选“标注”工具，单击原点和单位点，并分别双击，改变他们的标注字母为O和1。

4、画点C和D：选“画点”工具，在纵坐标轴上画一点C，在横坐标轴上画一点D，并标出字母。

5、度量D点坐标：选“选取”工具，选中D点，执行《度量/坐标》命令，画版显示出：D[xxxx,xxxx]。

6、计算XD：选中D点坐标式，执行《度量/计算》，画版显示XD度量式。

7、计算YC*XD2的值：同时选中C点坐标和XD度量式，打开“度量”中的“计算”命令，在计算器中单击“数值”框，在框中选“C点”，再选“y”，单击“*”

键，再单击“数值”，选XD，然后在计算器中顺序单击“^”和“2”键，这时计算器屏幕上显示“YC*XD2”，最后单击“确认”按钮，画版显示YC*XD2的度量式。

8、产生E点：选中度量式XD和YC*XD2，执行《图表/P绘出（X，Y）》命令，画板上出现一个点，标注出它的字母为E。

9、画轨迹：按顺序同时选中D点和E点，执行《作图/U轨迹》命令，过E点的抛物线显示在画版上。

10、沿纵轴拖动C点，在横轴拖动D点，观察抛物线的变化。

三、加注释

1、本工具有效时，在画板中按下鼠标左键并拖动形成一个虚线框的空白区域。

2、这个区域的大小符合你的需要时，松开鼠标左键。

3、此时输入的标识符将在区域的左上角闪烁。区域的大小并不重要，因为它能自动改变大小来容纳你输入的任何数量的文字。当文字到达区域的右边时，它会自动转到下一行。

4、其它任何工具，或在画板中其它位置单击一下，即可完成注释的输入。边框的尺寸变得使文本正好充满。

5、移动注释和改变注释的尺寸用箭号工具在画板中拖动注释。拖动黑色注释框的一个白角，来调整注释框的大小。

6、注释文字的格式化：选择注释。再显示菜单中选择不同的字体，字型和字号。

7、改变注释文本： 选择文本工具。将鼠标移到要修改的文本处，单击左键，即可按文本编辑的方式进行修改。

退出方法 同上。

■轨 迹

一、轨迹跟踪：

利用“显示”菜单中“轨迹跟踪”命令，可以动态显示轨迹。

例1：圆的定义：

1、作线段AB，作点C

2、构造圆：选定点和线段，执行《作图/圆》

3、在圆上构造一点D：选定圆，执行《作图/目标上的点》

4、构造线段CD。

5、建立动画：依次选定D和圆C，执行《编辑/按钮/动画》

6、隐藏圆：

二、构造轨迹：

例2：抛物线（由定义）

1、作线段AB

2、在线段AB上任选一点C和线外一点D，连接CD

3、选中线段CD，作CD的中垂线m

4、过点C，作线段AB的垂线l

5、同时选中直线m 和l,执行《作图/交点》得到交点F

6、同时选中点C和点F，执行《作图/轨迹》得到抛物线的轨迹图象

7、拖动点C，观察轨迹的变化情况。

例3：幂函数（由函数表达式）

1、打开一个新画板，执行《图表/建立坐标轴》

2、标出原点O和单位点1

3、在横坐标轴上任画一点C

4、计算C点的坐标，将XC改为X

5、计算出X的立方，X的三分之二次方，X的平方的三分之一次方的值

6、用X和X的立方绘出点D（用《图表/画点-根据（X，Y）》

7、选定C，D两点，执行《作图/轨迹》

演示：

1、找出一个端点在圆上的线段中点的轨迹

问题：

1、如何用度量值绘制一个点？

2、当用度量值绘制一个点时，与度量值的单位有关系吗？

3、为构造轨迹，你必须做些什么？

第三讲 几何画板画图步骤及演例

在几何画板中常用坐标法和函数的几何特征来作图，通过作图可以对函数的代数形式和几何特征都有实质性的了解。如果学生能用这两种方法作出函数的图象对其理解函数的本质有很大的作用。所以我建议我们广大教师，应让学生多操作，既可增加学生学习兴趣，又可更深刻地了解函数的实质。

一、坐标法

坐标法适用于已知函数解析式求作函数图象的方法。构造一个坐标满足函数解析式的点，用几何画板的轨迹工具画出图象。下以二次函数为例。

步骤如下：

1、新建一个绘图，选择菜单里的“图表”，鼠标单击“建立坐标轴”。

2、选择轴，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，对象上的点，确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“C”）。确保C点处于被选中状态，右击鼠标显示快捷菜单选择“度量”，鼠标单击“坐标”，得到C点的坐标。

3、选择工具栏里的“选择&平移”工具，鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，再选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算”，出现“计算器”窗口，用鼠标单击“数值”按钮，把鼠标放在“点C”上，选择x，然后用鼠标单击“计算器”窗口里“确定”按钮，这样我们就得到了C点的横坐标的度量值。如果用鼠标拖动点C的话，你会发现它的横坐标的度量值在随之变化。

4、下面我们把界面稍微整理一下，用鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，然后同时按下Ctrl和H键，把C点的坐标隐藏掉。再选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，用鼠标双击C点横坐标的度量值，在出现的“度量值格式”窗口里选择“文本格式”，出现两个文本框，将左面文本框内的“X[C]=”改成“x=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。经过上面的工作，我们已经把二次函数的自变量构造出来了。

5、选择工具栏里的“选择&平移”按钮，按住Shift键，鼠标单击度量值x(确保别的对象不处于选中状态)，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算…”，在出现的“计算器”窗口里，鼠标单击“数值”按钮，选择“2”，鼠标单击“*”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“x”，鼠标单击“^”号按钮，鼠标单击“2”按钮，鼠标单击“-”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“3”，鼠标单击“*”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“x”，鼠标单击“+”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“1”，最后按下确定按钮，得到一个新的度量值。选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，用鼠标双击刚刚得到的度量值，出现“度量值格式”窗口，将左面文本框内的“2*x^2-3*x+1=”改成“y=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。

6、画出图象。选择工具栏里的“选择&平移”工具，按住Shift键，鼠标单击度量值x、y（注意顺序），选择菜单栏里的“图表”，鼠标单击“绘出（x,y）”，这样构造出一个新的点（如果该点没有出现在屏幕上，可以通过改变C点的位置使它可见），选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，用鼠标单击刚构造出的点，将显示出它的标签（假设为“P”）。按住Shift键，选中P点和C点，选择菜单栏里的“作图”，鼠标单击“轨迹”后，二次函数的图象便会出现在屏幕上，可以试着拖动C点，观察一下二次函数的图象的变化情况。如果图象不是很

光滑的话，你可以选择菜单栏里的“显示”，然后鼠标单击“参数设置”，在出现的“对象参数选择”窗口里，鼠标单击“其他”按钮，出现“高级参数选择”窗口，设置“轨迹上的样点数目”为100（最大值为999。值越大，图象越光滑，但计算机的速度将变慢），按下“高级参数选择”窗口里的“继续”按钮，再按下“对象参数选择”窗口里的“确定”按钮，然后再重新构造轨迹。

以上为抛物线的图象，用上述方法可以画出一次函数，反比例函数或更复杂函数。

二、几何法

几何法是用函数图象的几何特点，进行作图。下面还以二次函数的图象抛物线为例。在解析几何中，抛物线是平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹，我们可通过尺规作图在平面内很容易找到这样的点，现在用几何画板的轨迹工具就可画出抛物线。

步骤如下：

1、新建一个绘图，选择菜单里的“图表”，鼠标单击“建立坐标轴”。

2、选择轴，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，对象上的点；确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“M”）。选择工具栏里的“选择&平移”工具，鼠标单击M点，按住Shift键，鼠标单击轴，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，作垂线，垂线即为此抛物线的准线。

3、选择轴，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，对象上的点；确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“F”）。点F为抛物线的焦点。

4、选择垂线，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，对象上的点。确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“N”）。选择点N，按住Shift键，鼠标单击直线。右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，作垂线。选择点N和点F，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，线段NF，选择线段NF，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，中点A。选择点A和线段NF，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，垂线。选择直线 和直线 ，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，交点。鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“P”）。

5、选择点N和点P，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，轨迹。抛物线作好了，可适当调整准线和焦点F的位置，则可以得到不同的抛物线。

通过上例我们可以看到，此法作函数图象的实质是尺规作图。

第二章 用几何画板研究函数图象

第一讲 一次函数图象的研究

一次函数是同学们初中熟悉的函数，其解析式为ykxb(k0)，图象为一条直线。当b0时，一次函数就变为正比例函数。你知道解析式中k和b的几何意义吗？它们的改变会对函数图象产生哪些影响呢？一次函数的单调性和奇偶性又是由什么来决定的呢？这一讲，我们将借助于几何画板，绘制函数图象来对这些问题进行研究。

操作1：用几何画板绘制函数ykx(k0)的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数k，输入kx

如图1所示。

(图1)

可以通过+、-改变斜率，也可设置滑块

我们可以发现，当改变k的值时，图象的倾斜程度也随之改变。我们把反映直线倾斜程度的k称为直线的斜率。

请同学们观察这些图象，回答下列问题：

[问题1] 这些图象有什么共同特点？

[问题2] 你能判断这些函数的奇偶性吗？

[问题3] 当斜率k0时，倾斜角的范围是什么？斜率k和倾斜角之间的变化关系如何？此时，函数的单调性如何？

[问题4] 当斜率k0时，倾斜角的范围是什么？斜率k和倾斜角之间的变化关系如何？此时，函数的单调性如何？

[问题5] 通过问题3和问题4的比较，你认为决定一次函数单调性的因素是什么？

操作2：用几何画板绘制函数yxb的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数b，输入x+b

如图2所示。

(图2)

我们可以发现，这些直线的倾斜程度都一样，改变的是直线与y轴交点的位置。而且，直线与y轴交点的纵坐标就是b的值，我们称之为纵截距。

请同学们观察这些图象，回答下列问题：

[问题1] 纵截距b的取值范围是什么？

[问题2]

b满足什么条件时，图象关于原点对称？

[问题3] 这些图象中，有没有关于y轴对称的？

[问题4]你认为决定一次函数奇偶性的因素是什么？

[问题5]你认为这些函数图象具备什么共同特点？

请同学们结合这些问题的结论把一次函数的性质汇总出来。

第二讲 二次函数图象的研究

对于二次函数，同学们也比较熟悉。它的解析式是yax2bxc（a0)，2b4acb)。这一讲，我图象为一条抛物线，对称轴是xb，顶点坐标是(,2a4a2a们将借助于几何画板绘制二次函数图象，并通过图象来研究它的其它性质。

操作1：用几何画板绘制函数yax2(a0)的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数a，输入ax^2

如图1所示。

(图1)

我们可以看到，对a取不同的数值，这些图象都是顶点为原点的抛物线，y轴为它们的对称轴。

请同学们观察这些图象，回答下列问题：

[问题1] 满足什么条件图象开口向上，满足什么条件图象开口向下？

[问题2] 图象的开口方向由什么条件决定？

[问题3] 当二次项系数a0，且a由小变大时，图象的形状（开口大小）发

生了什么变化？

[问题4] 当二次项系数a0，且a由大变小时，图象的形状（开口大小）发生了什么变化？

[问题5] 你认为决定二次函数图象形状（开口大小）的因素是什么？

操作2：用几何画板绘制函数yx2bx的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数b，输入x^2+bx

如图2所示。

(图2)

我们可以看到，对b取不同的数值，这些图象都经过原点，且形状一致。

请同学们观察这些图象，回答下列问题：

[问题1] 改变b的取值，二次函数的图象发生了怎样的变化？

[问题2] 何时图象关于y轴对称？

[问题3] 这些图象中，有没有关于原点对称的？

[问题4]你认为决定二次函数奇偶性的因素是什么？

操作3：用几何画板绘制函数yx2xc的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数c，输入x^2+x+c

如图3所示。

(图3)

我们可以发现，当二次项系数和一次项系数固定时，函数的形状和对称轴都随之固定，对c取不同的数值，改变的是图象的位置。

请同学们观察这些图象，回答下列问题：

[问题1] 改变c的取值，二次函数的图象会发生怎样的变化？

[问题2] 二次函数与y轴交点的纵坐标与c是什么关系？

[问题3]

c的取值范围是什么？

[问题4] 你能否尝试梳理一下二次函数中参数a、b、c都分别对图象的变化起到什么作用？

操作4：用几何画板绘制函数yax2bxc(a0)的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数a,b,c，输入ax^2+bx+c

如图4所示。

(图4)

请同学们观察这些图象，回答下列问题：

[问题1]

a0和a0时，函数的最值情况如何？

[问题2]

a0时，函数的单调性如何？你能写出它的单调区间吗？

[问题3]

a0时，函数的单调性如何？你能写出它的单调区间吗？

[问题4] 你认为决定二次函数单调性的因素有哪些？并试着分类写出它的单调区间。

[问题5] 离对称轴距离相等的点，其纵坐标有什么特点？

[问题6]

a0时，函数值的大小与其自变量距离对称轴的远近有什么关系？

[问题7]

a0时，函数值的大小与其自变量距离对称轴的远近有什么关系？

请同学们结合这些问题的结论把二次函数的性质汇总出来。

第三讲 对勾函数图象的研究

对勾函数yxa(a0)因其部分图象形似“对勾”而得名，又有人趣称为x“耐克函数”。在高中数学中，对勾函数是研究函数单调性、极值问题的典型模型，出现的频率较高，故而是非常重要的一类函数。这一讲，我们将借助于几何画板，绘制对勾函数的图象，从而研究它的重要性质。

操作：用几何画板绘制函数yx步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数a，输入x+a/x

如图1所示。

a(a0)的图象。

x(图1)

对a取不同的数值，我们可以发现，y轴右侧的图象形状确实如同一个对勾，这个特征将有助于我们熟记对勾函数的图象，挖掘对勾函数的性质。

请同学们观察这些图象，回答下列问题：

[问题1] 对勾函数的定义域是什么？

[问题2] 对勾函数的图象关于什么对称？

[问题3] 你能判断对勾函数的奇偶性吗？

[问题4] 改变a的大小，对勾的形状会发生怎样的变化？

[问题5] 改变a的值，观察两个“拐点”的横坐标与a有怎样的关系？

[问题6] 对勾函数的值域是什么？与“拐点”有无关系？

[问题7] 你能判断对勾函数的单调性吗？

[问题8] 根据对勾函数的单调性且限定x1,2时，你能试着分类写出对勾函数的值域吗？

这些问题有了答案之后，相信同学们已经对“对勾函数”有了更深的了解。

1当a1时，函数yx是最常见的对勾函数，它的单调性相信同学们从x图象上已经能够确定，下面我们用定义证明一下。

例 求证：f(x)x1在(0,1)上单调递减。

x证明：任取x1,x2(0,1)，且x1x2，xx2x10，

yf(x2)f(x1)(x2xx1111)(x1)x2x1x2x112

x2x1x2x1x1x2(x2x1)(1(xx)(xx1)1)2112

x1x2x1x2x1,x2(0,1),x1x2,x2x10,0x1x21,x1x210

y0,f(x)在(0,1)上单调递减。

同学们，你能试着证明一下函数f(x)x

思考：如果a0，那么函数yx1在(,1)上单调递增吗？

xa的奇偶性和单调性会发生变化吗？此x时函数还是对勾函数吗？试证明你的结论。

第四讲 指数函数图象的研究

指数函数yax(a0,且a1)是同学们进入高中后接触的第一类新的基本初等函数。在现实生活中的很多方面，如生物学中的细胞分裂、银行存款本利和的复利计算等都有它的身影。这一讲，我们将借助于几何画板，绘制指数函数的图象，借助函数图象变化的动态演示，来研究它的性质。

操作：用几何画板绘制函数yax(a0,且a1)的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数a，输入a^x

如图1和图2所示。

(图1)

(图2)

我们可以发现，无论a取何值，图象永远在x轴的上方，易发现其定义域为R，值域为(0,)。

请同学们观察这些图象，回答下列问题：

[问题1] 这些图象是否恒过某个定点？你能找到它的理论依据吗？

[问题2] 你能判断这些函数的奇偶性吗？

[问题3] 当a1时，改变a的值，图象的升降趋势如何？此时，函数的单调性如何？

[问题4] 当0a1时，改变a的值，图象的升降趋势如何？此时，函数的单调性如何？

[问题5] 你认为决定指数函数单调性的因素是什么？你能写出它的单调区间吗？

[问题6] 当a1时，逐渐增大a的值，图象的变化趋势如何？（第一象限内图象如何变化，第二象限内图象如何变化）？

[问题7] 当0a1时，逐渐增大a的值，图象的变化趋势如何？（第一象限内图象如何变化，第二象限内图象如何变化）？

[问题8] 当a1时，x满足什么条件时，y1？x满足什么条件时，0y1？

[问题9] 当0a1时，x满足什么条件时，y1？x满足什么条件时，0y1？

[问题10]分别令a取互为倒数的两个值如分别取2和函数图象的特点，你能据此总结出什么结论？

11，3和，观察每对23[问题11] 改变a的值，当x1时，观察点的纵坐标，你能得出什么结论？从中你能受到什么启发？

请同学们结合这些问题的结论把指数函数的性质汇总出来。

我们可以看到，函数的图象是研究它的性质的重要载体。借助于几何画板的作图和分析功能，及其对函数图象能直接操作的优越性，可以使我们方便地观察函数的整体变化情况，同时还能对其中的细节进行考察。这样我们就可以从函数图象的变化中获得大量关于函数特点的信息，这对我们归纳、概括函数的性质以及不同函数之间的联系与区别有极大的好处。

第五讲 对数函数图象的研究

对数函数ylogax(a0,且a1)是同学们进入高中后接触的第二类新的基本初等函数。由于对数的定义和运算法则完全是高中新授，因此相比指数函数而言，同学们普遍对对数函数比较陌生，很长一段时间运用起来都不能得心应手。这一讲，我们将借助于几何画板绘制对数函数的图象，借助函数图象变化的动态演示来研究它的性质。

操作：用几何画板绘制函数ylogax(a0,且a1)的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数a，输入如图1和图2所示。

(图1)

(图2)

我们可以发现，无论a取何值，图象永远在y轴的右侧，易发现其定义域为(0,)，值域为R。

请同学们观察这些图象，回答下列问题：

[问题1] 这些图象是否恒过某定点？你能找到它的理论依据吗？

[问题2] 你能判断这些函数的奇偶性吗？

[问题3] 当a1时（如图1），改变a的值，图象的升降趋势如何？此时，函数的单调性如何？

[问题4] 当0a1时（如图2），改变a的值，图象的升降趋势如何？此时，函数的单调性如何？

[问题5]你认为决定对数函数单调性的因素是什么？你能写出它的单调区间吗？

[问题6] 当a1时（如图1），逐渐增大a的值，图象的变化趋势如何？（第一象限内图象如何变化，第四象限内图象如何变化）？

[问题7] 当0a1时（如图2），逐渐增大a的值，图象的变化趋势如何？（第一象限内图象如何变化，第四象限内图象如何变化）？

[问题8] 当a1时，x满足什么条件时，y0？x满足什么条件时，y0？

[问题9] 当0a1时，x满足什么条件时，y0？x满足什么条件时，y0？

[问题10] 分别令a取互为倒数的两个值，如分别取2和对函数图象的特点，你能据此总结出什么结论？

11，3和，观察每23[问题11] 改变a的值，当y1时，观察点的横坐标，你能得出什么结论？从中你能受到什么启发？

请同学们结合这些问题的结论把对数函数的性质汇总出来。

研究好对数函数的性质，将为我们下一节课研究指数函数和对数函数的关系打下良好的基础。

第六讲 指、对数函数关系的研究

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为该新函数的因变量，从而得到和原来函数相关的一个新函数，我们称这两个函数互为反函数。指数函数和对数函数就是互为反函数的最好例子。这一讲，我们将借助于几何画板，在同一坐标系中绘制指数函数和对数函数的图象，通过对这两个函数图象的比较，来研究互为反函数的两个函数之间的关系。

操作1：用几何画板在同一坐标系中绘制函数y2x与ylog2x的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，输入2^x

绘制新函数，输入如图1所示。

(图1)

请同学们观察图象，回答下列问题：

[问题1] 这两个函数图象有什么对称关系吗？

1[问题2] 取y2x图象上的几个点，如P(1,)，P2(0,1)，P3(1,2)。P1，P2，12P3关于直线yx的对称点的坐标是什么？它们在ylog2x的图象上吗？为什么？

[问题3] 如果点P0(x0,y0)在函数y2x的图象上，那么P0关于直线yx的对称点在ylog2x的图象上吗？为什么？

[问题4] 由上述探究过程可以得到什么结论？

[问题5] 上述结论对于指数函数yax(a0,且a1)及其反函数ylogax

(a0,且a1)也成立吗？为什么？

操作2：用几何画板在同一坐标系中绘制函数yax与ylogax(a0,且a1)的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数a，输入a^x

绘制新函数，输入如图2所示。

(图2)

对a取不同的数值，请同学们观察图象，回答下列问题：

[问题1] 指数函数yax(a0,且a1)与对数函数ylogax(a0,且a1)的定义域和值域之间有什么联系？

[问题2] 当0a1时，改变a的值，这两个函数的单调性如何？

[问题3] 当a1时，改变a的值，这两个函数的单调性如何？

[问题4] 比较上两个问题，你认为指数函数yax(a0,且a1)与对数函数ylogax(a0,且a1)的单调性有什么关系？

[问题5] 当a1时，对相同的自变量的增量，这两个函数值的增量（增长速度）有什么差别？

[问题6] 当0a1时，情况又如何呢？

请同学们结合这些问题的结论把指数函数与对数函数的关系汇总出来。

第七讲 幂函数图象的研究

幂函数是一种最“多变”的函数，它的解析式为yx(R)，图象随的取值不同而不断变化。初中学过的正比例函数ykx（当k1时）和二次函数yax2bxc（当a1,bc0时）都属于幂函数。这一讲，我们将借助于几何画板，绘制幂函数的图象，来研究它的图象变化特点和性质。

操作1：用几何画板绘制函数yx(R)的图象。

步骤：点击菜单栏“绘图”

绘制新函数，新建参数a，输入x^a

如图1所示。

(图1)

我们可以看到，随着指数的取值不同，幂函数的图象形状差异极大，且有

时图象只在第一象限，有时出现在一、二象限，有时出现在一、三象限。究竟是什么因素导致了这种差异呢？下面我们深入研究一下。

请同学们观察这些图象，回答下列问题：

[问题1] 幂函数图象过什么定点？

[问题2] 若0，图象还经过什么定点？

[问题3] 若图象出现在一、三象限，图象还会经过什么定点？

[问题4] 改变的值，幂函数在第一象限内的图象的增减趋势如何？

[问题5]你认为决定幂函数在第一象限内的图象的单调性的因素是什么？

[问题6] 若图象出现在一、二象限，函数的图象关于什么对称？此时函数的奇偶性如何？

[问题7] 若图象出现在一、三象限，函数的图象关于什么对称？此时函数的奇偶性如何？

[问题8] 幂函数的图象会出现在第四象限吗？

通过研究，我们可以发现幂函数图象虽然多变，但是它在第一象限内的单调性是由的正负控制的。下面，我们来绘制第一象限中幂函数的各种图象，对比它们的变化趋势。

操作2：用几何画板分别画出函数yx(0)，yx(0)，yx(01)，yx(1)，yx(1)的图象。

步骤：同上

如图2至图6所示。

(图2)

(图3)

(图4)

(图5)

(图6)

请同学们对照这些图象，仔细研究第一象限内幂函数的图象随改变的变化趋势，总结其变化规律。

思考：如果不用画图工具，如何作出幂函数yx(R)的简图？

注意，在这里我们讲的均为指数为有理数的情况，并且只考虑第一象限，指数为无理的尾数不确定，故不能确定函数在x<0的情况，在此不做讨论与绘图，请同学们自行查阅有关资料。

第一步，先求其定义域。如果是分数，可以把分数指数幂化为根式。

第二步，作出它在第一象限内的图象。（参考操作2的图示）