2020年高考复习数学-三角函数的定义和诱导公式

第四章 三角函数

4.1 任意角和弧度制、任意角的三角函数

1、任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫B

O

A

的顶点。

2、角的分类

角的分类象限角：角的终边在第几象限，这按终边位置不同分类 个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3、象限角

正角：按逆时针方向旋转形成的角按旋转方向负角：按顺时针方向旋转形成的角不同分类零角：射线没有旋转

（1）第一象限角的集合： 。

（2）第二象限角的集合： 。

（3）第三象限角的集合： 。

（4）第四象限角的集合： 。

4、轴线角

（1）终边落在x轴正半轴上的角的集合是：x|x

（2）终边落在x轴负半轴上的角的集合是：x|x

（3）终边落在x轴上的角的集合是：x|x







 （4）终边落在y轴正半轴上的角的集合是：x|x

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（5）终边落在y轴负半轴上的角的集合是：x|x

（6）终边落在y轴上的角的集合是：x|x





5、终边相同的角

所有与角终边相同的角连同角在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为：S|k360,kZ或S|2k,kZ。

6、角度制与弧度制

角度制：规定周角的1为1度的角，记作10，它不会因圆的大小改变而改变，与r无关。

360弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad或1弧度或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

7、角的度量

（1）角的度量制有：角度制，弧度制

（2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180orad。

360o2，180orad，1o（3）特殊角的弧度

度

弧度

180o)57.30o

rad0.01745(rad)，1rad(1800o

30o

45o

60o

90o

120o

135o

150o

180o

270o

360o

8、弧度数计算公式：

在半径为r的圆中，弧长l所对的圆心角的弧度数为||= 。

9、弧长公式与扇形面积公式

弧长公式

角度制

lnr

180弧度制

l||r

11Slr||r2

22（是圆心角的弧度数）

扇形面积

Snr

3602

第 2 页（共 12 页）

10、任意角的三角函数

三角函数 正弦 余弦 正切

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么

定义

y叫做α的正弦，记作sin α

x叫做α的余弦，记作cos α

Ⅰ

各象限符号

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

＋

＋

－

－

＋

－

－

＋

y叫做α的正切，记作tan α

x＋

－

＋

－

三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线

延伸：1、在直角坐标系中，设是一个任意角，在的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离r，则r|OP|x2y20.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y.把：

yMPy叫做正弦，即sin；

rOPrxOMx 比值叫做余弦，即cos；

rOPryMPy。

比值叫做正切，即tanxOMx比值的终边P(x,y)oM2、三角函数在各象限的符号是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推出的

yy+-osin+-x--o++x-y+-x+otancos口决：一全正二正弦三正切四余弦

突破点一 角的概念

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例1 1、给出下列四种说法，其中正确的有( D )

①－75°是第四象限角； ②225°是第三象限角； ③475°是第二象限角； ④－315°是第一象限角．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、下列说法中正确的是( C )

A．第一象限角一定不是负角

C．钝角一定是第二象限角

B．－831°是第四象限角

D．终边与始边均相同的角一定相等

3、已知α是第二象限角，则180°－α是第____一____象限角．

4、与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是_____220°___．

5、在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为_______－675°或－315°_________．

6、若α为第二象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是( D )

A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限

α7、若角α是第二象限角，则是第____一或三____象限角．

2突破点二 弧度制及应用

例2 1、把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数．

7π13π(1)； (2)－； (3)1125°； (4)－225°.

1267π713π13π25π解析：(1)＝×180°＝105°.(2)－＝－×180°＝－390°.(3)1125°＝1125×＝.

1212661804π5π(4)－225°＝－225×＝－.

18042、若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－3x上，则角α的取值集合是( D )

2ππα＝kπ－，k∈Z

D.αα＝kπ－，k∈Z

C.α33π2πα＝2kπ－，k∈Z B.αα＝2kπ＋，k∈Z A.α33π3、在半径为2cm的圆中，若有一条弧长为cm，则它所对的圆心角为( A )

3πππA. B. C.

6322π4、半径为2cm，圆心角为的扇形面积为( C )

3π2π4π8π2 B．cm2

2

D．cm2

33333605、已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.

ππ6、一条弦的长度等于半径，这条弦所对圆心角大小为________．

3 第 4 页（共 12 页）

2πD．

3

πππ7、已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．

6338、已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( C )

A．1 B．4 C．1或4 D．2或4

突破点三 任意角的三角函数

25例3 1、已知角α的终边过点P(－1,2)，则sin α＝________.

52、已知角的终边过点P(313,)，则cos

22243、在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A，点A的纵坐标为，且点A53在第二象限，则cos α＝_____－___.

5344、已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角α的终边经过点P（(

，－） )，则cos α·tan

55α的值是( A )

4433A．－ B. C．－ D.

5555343－，5、如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，cos α＝－，则点A的坐标为___555_____．

6、已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( C )

A．150° B．135° C．300° D．60°

7、在平面直角坐标系xOy中，60°角终边上一点P的坐标为(1，m)，则实数m的值为_____3___．

8、若角的终边过点P(4t,3t)(tR且t0)，则2sincos的值是

2 。

59、已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝解：（1）由题设知x＝－3，y＝m，

2m，求cosα，tanα的值．

4m2mm∴r2＝OP2＝(－3)2＋m2，得r＝3＋m2，从而sinα＝＝＝，

r422∴r＝3＋m2＝22，于是3＋m2＝8，解得m＝±5.

－3615当m＝5时，r＝22，x＝－3，∴cosα＝＝－，tanα＝－；

4322－3615当m＝－5时，r＝22，x＝－3，∴cosα＝＝－4，tanα＝3.

22 第 5 页（共 12 页）

10、判断下列三角函数值得符号。

（1）sin(670)cos2012 负 （2）sin4cos4 正

11、设角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( A )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

cos α12、若sin αtan α<0，且<0，则角α是( C )

tan αA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

13、比较大小．(填“>”、“<”或“＝”)

ππππ2π2π(1)sin ___＝_____cos ； (2)sin _____< ___cos ； (3)sin ____>____tan .

445533。。1、给出下列四个命题：①－3π4π是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第43

一象限角．其中正确命题的个数有( C )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、2弧度的角所在的象限是( B )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

3、点P(cos 2 020°，sin 2 020°)所在的象限是( C )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4、已知角α的终边与单位圆交于点－ D．第四象限

31，－，则sin α的值为( B )

22A．－3131 B．－ C. D.

222215、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝( D )

cos α6、半径为1 cm，圆心角为150°的角所对的弧长为( D )

22π55πA. cm B. cm C. cm D. cm

33667、已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( B )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8、已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( D )

A．sin 2 B．－sin 2 C．cos 2 D．－cos 2

9、已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cos α＝2x，则x等于( D )

4 第 6 页（共 12 页）

A．3 B．±3 C．－2 D．－3

10、一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( C )

A．1 B．2 C．3 D．4

π11π5ππ7π11、若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____－，－，，___.

63333112、若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，则sin θ＋cos θ等于____±____．

513、已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是___(－2,3]_____．

14、已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．

1解：因为角θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，所以tan θ＝－，又tan θ＝－x，

x所以x2＝1，所以x＝±1.当x＝1时，sin θ＝－当x＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝，因此sin θ＋cos θ＝0；

2222，cos θ＝－，因此sin θ＋cos θ＝－2.

2215、已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(3a,4a)，其中a≠0，求sin α，cos α，tan α.

4a43a34a4解：设r＝|OP|＝3a2＋4a2＝5|a|.当a>0时，r＝5a，∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝；5a55a53a3434434当a<0时，r＝－5a，∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.综上可知，sin α＝，cos α＝，tan α＝或sin α553553434＝－，cos α＝－，tan α＝.

5534.2 同角三角函数基本关系和诱导公式

1、同角三角函数基本关系式

平方关系：sin2cos21，商数关系tan=sin

cos适合题型

2、同角三角函数基本关系式的应用技巧

技巧 解读

主要利用公式tan θ＝切弦互化

sin θ化成正弦、余cos θsin θ弦，或者利用公式＝tan θ化成正切

cos θ1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin

表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ

“1”的变换 表达式中需要利用“1”转化

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πθ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan

4和积转换

利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化

表达式中含有sin θ±cos θ或sin

θcos θ

3、诱导公式

诱导公式一：sin(2k)sin，cos(2k)cos，tan(2k)tan，kZ

诱导公式二：sin()-sin，cos()cos，tan() -tan，

诱导公式三：sin()-sin，cos()-cos，tan()tan，

诱导公式四：sin()sin，cos()-cos，tan() -tan，

诱导公式五：sin(诱导公式六：sin()cos，cos()-sin，

22)cos，cos()sin。

22口决：“奇变偶不变，符号看象限”。

形式：将角的形式化为：k2(kZ),不管是多大，统统看成锐角，

意义：当k为偶数时，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。

当k为奇数时，等于的异名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。

4、特殊角的三角函数值

度

弧度

0o

0

30o

45o

60o

90o

120o

135o

150o

180o

270o

360o



61

23

23

3

42

22

21



33

2

21

2

33

2-3

42

2-5

61

2

3

2-1

2

sin

0 0 0

cos

tan

1

1

23

0

1

223 -

22-1

--1 0 1

0 ——

-3

3

30 —— 0

突破点一 同角三角函数的基本关系

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5,则cosa（ A ）

13125512A． B． C． D．

2、已知是第四象限角，cos，则sin

- 。

1313例1 1、已知a是第二象限角,sina43、已知tan x＝，且角x的终边落在第三象限，则cos x＝( D )

34433A. B．－ C. D．－

5555π33，π，sin α＝，则tan α＝_____－___. 4、已知α∈2545、已知tan2，求

624sin2cos22（1）

11 （2）sincos

5 （3）2sin3sincos2cos 0

5cos3sin15π3π6、已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为( B )

842333A．－2 B.2 C．－4

π117、已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则2＝( B )

25cosα－sin2α725724A. B. C. D.

5725253D.4

1，求

5127434（1）sincos

 （2）sin-cos （3）sin，-，-

cos，tan

，2555538、已知为某三角形的一内角，且sincos突破点二 三角函数的诱导公式

π1－α＝( D ) 例2 1、已知sin(π＋α)＝－，则tan23A．22 B．－22 C.2

4 D．±22

3π33＋α等于____－____． 2、已知cos(π＋α)＝－，则sin2553、求下列式子的值：

103ππ47π－π；(1)sin 570° ； (2)cos (3)cos(＋)； (4)cos； (5)cos(－945°)； （6）sin(－1665°)。

32361解析：(1)sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－

2104π104π1－π＝cosπ＝cosπ＋2π＝cosπ＝cosπ＋＝－cos＝－. (2)解法一：cos3333332 第 9 页（共 12 页）

102π2π1－π＝cosπ－4π＝cosπ＝cosπ－＝－cos＝－. 解法二：cos3333323πππππππ3(3)cos(＋)＝cos(π＋＋)＝－cos(＋)＝－(－sin)＝.

2323233247π11π11π5π5πππ3(4)cos＝cos(6π＋)＝cos＝cos(π＋)＝－cos＝－cos(π－)＝cos＝.

66666662(5)cos(－945°)＝cos945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－2.

22.

2（6）sin(－1665°)＝－sin1665°＝－sin(225°＋4×360°)＝－sin225°＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝π47π4α＋＝，则sinα＋等于___－_____． 4、已知sin6655π5π33－α＝，则tan＋α＝_____－___. 5、已知tan63633sin α－cos α6、已知tan(3π＋α)＝3，则＝( B )

2sin α＋3cos α182A. B. C. D．2

3937、设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数．若f(2 019)＝－1，则f(2 020)＝( A)

A．1 B．2 C．0

sin2α＋π·cosπ＋α·cos－α－2π8、化简：＝_____1___.

π3tanπ＋α·sin2＋α·sin－α－2πππsin3π－α＋cosα＋π9、已知cos2＋α＝2sinα－2，则的值为________．

5π7π5cos2－α＋3sin2－αππ＋α＝2sinα－，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝解析：∵cos221.

5sin3π－α＋cosα＋πsin3α－cos α8cos3α－cos α8213＝＝＝cosα－＝.]

577cos α77355sin α－3cos απ－α＋3sinπ－α5cos22 D．－1

sinπ－αtanπ＋α－cosπ－α2－1210、已知f(α)＝ .

3π4sin2＋α＋cosπ－α＋cos2π－αππ1(1)化简f(α)； (2)若－<α<，且f(α)<，求α的取值范围．

334cos αtan α＋cos α2－1sin α＋cos α2－12sin αcos α1解：(1)f(α)＝＝＝＝－sin α.

2－4cos α－cos α＋cos α－4cos α－4cos α111π7π(2)由已知得－sin α<，∴sin α>－，∴2kπ－<α<2kπ＋，k∈Z.

24266 第 10 页（共 12 页）

ππππππ－，. ∵－<α<，∴－<α<.故α的取值范围为633363

31、已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝( D )

53344A. B．－ C. D．－

4433π4－，0，cos x＝，则tan x的值为( B ) 2、已知x∈25334A. B．－ C.

443π1πα－＝，则cosα＋的值是( A ) 3、已知sin3361122A．－ B. C.

3337πcos

的值为( B ) 4、log24112A．－1 B．－ C. D.

222π3π＋α＝－，且α∈(

，π )，则sin(π－2α)＝( A ) 5、若sin25224121224A．－ B．－ C. D.

252525251π6、若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则cos α＝( B )

32222242A． B．－ C．－

339π3ππ3，，则sinα＋＝( B ) 7、已知tan(α－π)＝，且α∈2224443A. B．－ C.

5551cos θ8、若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是( B )

2sin θ1A．－2 B．2 C．±2 D．

21＋cos α9、若＝2，则cos α－3sin α＝( C )

sin α99A．－3 B．3 C．－ D.

55π17π1α－＝，则cosα＋等于( A ) 10、已知sin121233 D．－

542D．

922 D．－

34 D．－

3 第 11 页（共 12 页）

122122A. B. C．－ D．－

333311、已知2sin α－cos α＝0，则sin2α－2sin αcos α的值为( A )

312312A．－ B．－ C. D.

55551412、已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α的值为_____－___．

39π14，π，则tan θ＝___－_____. 13、已知sin θ＋cos θ＝，θ∈253414、已知tan α＝－，求：

3sin α－4cos α1(1)的值； (2)2的值； (3)sin2α＋2sin αcos α的值．

25sin α＋2cos αcosα－sinα4－－43sin α－4cos αtan α－48解：(1)＝＝＝.

475sin α＋2cos α5tan α＋2－＋25×3sin2α＋cos2α42－cos2αsin2α＋cos2αtan2α＋13＋1125(2)2＝＝＝＝＝－.

427cosα－sin2αcos2α－sin2αcos2α－sin2α1－tan2α1－－3cos2α168－2α＋2sin αcos αtan2α＋2tan α93sin8(3)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝－.

1625sin2α＋cos2αtan2α＋1＋19

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