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2024年2月29日发(作者:前端正则校验)

正弦定理、余弦定理及其二级结论

一、正弦定理概念和适用情况

1、正弦定理(law of sines)概念

在任何一个三角形ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

abc。

sinAsinBsinC【注】其中号a、b、c分别为ABC中角A、B、C的对边。

2、正弦定理适用情况

(1)已知两角和一边,解三角形。

(2)已知两边和其中一边的对角,解三角形。

【注】ABC的三个角和三个边叫做ABC的元素,已知ABC的几个元素,求其他

元素的过程叫做解三角形(solving triangles)。

二、正弦定理的相关推论和二级结论

1、(1)abc2R。

sinAsinBsinCasinAasinAbsinB,,。

bsinBcsinCcsinCabacbca2R。

sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinAabc2R。

sinAsinBsinC(2) (3) (4)

(5)“边化角”公式:a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC。

(6)“角化边”公式:sinAabc,sinB,sinC。

2R2R2R (7)“边角互化”公式:a:b:csinA:sinB:sinC

【注】其中R为ABC的外接圆半径。

2、(1)asinBbsinA,asinCcsinA,bsinCcsinB。

(2)absinAasinBasinC,b,c,

sinBsinAsinAcsinAcsinBbsinC,b,c。

sinCsinCsinBasinBbsinC,sinB等。

bc

a(3)sinA3、三角形内角正弦值间的等式关系

在任意的ABC中,总有以下等式成立:

(1)sinABsinC;(2)sinACsinB;(3)sinBCsinA.

4、三角形边、角间不等式关系

在任意的ABC中,总有以下等价的不等式成立:

(1)ABabsinAsinB;ACacsinAsinC;

BCbcsinBsinC。

(2)ABabsinAsinB;ACacsinAsinC;

BCbcsinBsinC。

(3)abcsinAsinBsinC;acbsinAsinCsinB;

bcasinBsinCsinA。

5、在任意的锐角ABC中:

(1)AB2sinAcosBcosAsinB。

sinAcosCcosAsinC。

sinBcosCcosBsinC。

(2)AC2(3)BC26、三角形面积公式

(1)SABC(2)SABC111absinCacsinBbcsinA。

2221。

abcr(其中r为ABC的内切圆半径)2

【注】rpapbpc(其中pabc)。

p2(3)SABC1abc)。

ppapbpc (其中p22(4)秦九韶公式:SABC122a2b2c2ab422

(5)SABCabc(其中R为三角形外接圆半径,下同)。

4R(6)SABC2R2sinAsinBsinC.

(7)设Ax1,y1、Bx2,y2,点O为坐标系原点,则SAOB(8)设OAa,OBb,则SAOB (9)SABC1|x1y2x2y1|。

2122abab22。

12sinBsinC1sinAsinC1sinAsinB;SABCb2;SABCc2。

a2sinA2sinB2sinC7、设ABC中,ha、hb、hc分别表示BC、AC、AB边上的高,则有:

(1)habsinCcsinB;

(2)hbcsinAasinC;

(3)hcasinBbsinA。

8、设ABC中,ha、hb、hc分别表示BC、AC、AB边上的高,p则:

(1)ha(2)hb(3)hc1abc,22ppapbpc;

a2ppapbpc;

b2ppapbpc.

c9、在ABC中:


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