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2024年2月29日发(作者:前端正则校验)
正弦定理、余弦定理及其二级结论
一、正弦定理概念和适用情况
1、正弦定理(law of sines)概念
在任何一个三角形ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
abc。
sinAsinBsinC【注】其中号a、b、c分别为ABC中角A、B、C的对边。
2、正弦定理适用情况
(1)已知两角和一边,解三角形。
(2)已知两边和其中一边的对角,解三角形。
【注】ABC的三个角和三个边叫做ABC的元素,已知ABC的几个元素,求其他
元素的过程叫做解三角形(solving triangles)。
二、正弦定理的相关推论和二级结论
1、(1)abc2R。
sinAsinBsinCasinAasinAbsinB,,。
bsinBcsinCcsinCabacbca2R。
sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinAabc2R。
sinAsinBsinC(2) (3) (4)
(5)“边化角”公式:a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC。
(6)“角化边”公式:sinAabc,sinB,sinC。
2R2R2R (7)“边角互化”公式:a:b:csinA:sinB:sinC
【注】其中R为ABC的外接圆半径。
2、(1)asinBbsinA,asinCcsinA,bsinCcsinB。
(2)absinAasinBasinC,b,c,
sinBsinAsinAcsinAcsinBbsinC,b,c。
sinCsinCsinBasinBbsinC,sinB等。
bc
a(3)sinA3、三角形内角正弦值间的等式关系
在任意的ABC中,总有以下等式成立:
(1)sinABsinC;(2)sinACsinB;(3)sinBCsinA.
4、三角形边、角间不等式关系
在任意的ABC中,总有以下等价的不等式成立:
(1)ABabsinAsinB;ACacsinAsinC;
BCbcsinBsinC。
(2)ABabsinAsinB;ACacsinAsinC;
BCbcsinBsinC。
(3)abcsinAsinBsinC;acbsinAsinCsinB;
bcasinBsinCsinA。
5、在任意的锐角ABC中:
(1)AB2sinAcosBcosAsinB。
sinAcosCcosAsinC。
sinBcosCcosBsinC。
(2)AC2(3)BC26、三角形面积公式
(1)SABC(2)SABC111absinCacsinBbcsinA。
2221。
abcr(其中r为ABC的内切圆半径)2
【注】rpapbpc(其中pabc)。
p2(3)SABC1abc)。
ppapbpc (其中p22(4)秦九韶公式:SABC122a2b2c2ab422
(5)SABCabc(其中R为三角形外接圆半径,下同)。
4R(6)SABC2R2sinAsinBsinC.
(7)设Ax1,y1、Bx2,y2,点O为坐标系原点,则SAOB(8)设OAa,OBb,则SAOB (9)SABC1|x1y2x2y1|。
2122abab22。
12sinBsinC1sinAsinC1sinAsinB;SABCb2;SABCc2。
a2sinA2sinB2sinC7、设ABC中,ha、hb、hc分别表示BC、AC、AB边上的高,则有:
(1)habsinCcsinB;
(2)hbcsinAasinC;
(3)hcasinBbsinA。
8、设ABC中,ha、hb、hc分别表示BC、AC、AB边上的高,p则:
(1)ha(2)hb(3)hc1abc,22ppapbpc;
a2ppapbpc;
b2ppapbpc.
c9、在ABC中:
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