任意角的三角函数及诱导公式

——任意角的三角函数及诱导公式

1．任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|3．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

角的弧度数的绝对值是：55≤α≤}=[，]。

6666l，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径。

r角度制与弧度制的换算主要抓住180rad。

弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad）。

180弧长公式：l||r（是圆心角的弧度数），

扇形面积公式：S4．三角函数定义

利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:

(1)y叫做的正弦,记做sin,即siny；

1

11lr||r2。

22

（2）x叫做的余弦,记做cos,即cosx；

（3）yy叫做的正切,记做tan,即tan(x0)。

xx5．三角函数线

6．同角三角函数关系式

（1）平方关系：sincos1,1tansec,1cotcsc

（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,

（3）商数关系：tan222222sincos

,cotcossin使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。

几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示)

同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。

7．诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2k)sin，cos(2k)cos，其中kZ



0)cos诱导公式二：

sin(180)sin；

cos(18诱导公式三：

sin()sin；

cos()cos

诱导公式四：sin(180)sin；

cos(180)cos

诱导公式五：sin(360)sin；

cos(360)cos

sin(x)sinxsin(x)sinxsin(2x)sinxcos(x)cosxcos(x)cosxcos(2x)cosxtan(x)tanx

tan(x)tanxtan(2x)tanx

cot(x)cotx

cot(2x)cotxcot(x)cotxsin(x)sinx1sin()cos2cos(x)cosx1cos(

)sintan(x)tanx

21tan()cotcot(x)cotx21cos()sin21sin()cos21tan()cot2

2

sinxcosxcosx；cosxsinx。

444448．几种终边在特殊位置时对应角的集合为

角的终边所在位置

X轴正半轴

Y轴正半轴

X轴负半轴

Y轴负半轴

X轴

Y轴

坐标轴

9．α、若α若α若α若α角的集合

|k360,kZ

kZ

|k36090,|k360180,|k360270,|k180,kZ

kZ

kZ

kZ

|k18090,|k90,kZ

、2α之间的关系

2终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2α2终边在第二象限则终边在第一或第三象限；2α2终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2α2终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2α2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

终边在第一或第二象限或y轴正半轴。

终边在第三或第四象限或y轴负半轴。

10．学习本节内容时要注意如下几点

（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。

三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离rx2y2,那么sin题型1：象限角

yx2y2,cosxx2y2,tany。

x例1．已知角45，在区间[720,0]内找出所有与角有相同终边的角；解析：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，

则令

72045k3600，

3

得

765k36045

解得

76545

k360360从而k2或k1

代回675或315

例2．若sinθcosθ＞0，则θ在（ ）

A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限

解析：答案：B；∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号。

当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B。

例4．已知“是第三象限角，则是第几象限角?

33kZ，

2解法一：因为是第三象限角，所以2k2k2k2kkZ，

33332∴当k=3m（m∈Z）时，为第一象限角；

3当k= 3m＋1（m∈Z）时，为第三象限角，

3当k= 3m＋2（m∈Z）时，为第四象限角，

3故为第一、三、四象限角。

3∴解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为由图可知，的终边所在的区域。

3是第一、三、四象限角。

3点评：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何n法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为边所在的区域。

题型2：三角函数定义

例5．已知角的终边过点(a,2a)(a0)，求的四个三角函数值。

解析：因为过点(a,2a)(a0)，所以r

 (n∈N*)的终n5|a|，xa,y2a。

4

当a0时，siny2a2a25xa5a；cos，tan2。

r5r55|a|5a5ay2a2a25xa5a，；

tan2。cos当a0时，sinr5|a|5a5r5a5例6．已知角的终边上一点P(3,m)，且sin2m4，求cos,sin的值。

解析：由题设知x3，ym，所以r2|OP|2(3)2m2，

得r3m2，

从而sin2m4mrm3m2，

解得m0或1662m2m5。

当m0时，r3,x3，

cosxr1,tanyx0；

当m5时，r22,x3，

cosx6r4,tanyx153；

当m5时，r22,x3，

cosxr64,tanyx153。

题型3：诱导公式

例7．tanxcotxcos2x( )

（Ａ）tanx （Ｂ）sinx （Ｃ）cosx （Ｄ）cotx

【解】：∵tanxcotxcos2xsinxcosxcosx2sin2xcos2xsinxcosxsinxcosxcos2x

cosxsinxcotx 故选D；

【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；

【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意sin2xcos2x1,tanxsinxcosx,cotxcosxsinx

例8．化简：sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)；

解析：原式sinsintantancoscostantan1。

5

§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础自测

1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）.

①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}

③{第一象限的角} ④以上都不对答案 ④



32.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 .答案

23.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm，则扇形的中心角的弧度数是 .答案 1或4

4.已知角终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin= .答案 -cos2

5.

是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos=答案

例1 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置.

2210

42x,则sin= .

4解 ∵是第二象限的角，

∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.

（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），

∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.

（2）∵k·180°+45°＜当k=2n（n∈Z）时，

n·360°+45°＜＜n·360°+90°；

2 ＜k·180°+90°（k∈Z），

2当k=2n+1（n∈Z）时，

n·360°+225°＜∴＜n·360°+270°.

2是第一或第三象限的角.

2＜k·120°+60°（k∈Z），

3（3）∵k·120°+30°＜当k=3n（n∈Z）时，

n·360°+30°＜＜n·360°+60°；

3＜n·360°+180°；

3＜n·360°+300°.

3当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜∴

是第一或第二或第四象限的角.

36

例2 （1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇

形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解 （1）设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r,

所以扇形的周长是2r+r.

依题意，得2r+r=r,

∴=-2=(-2)×180

≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,

∴扇形的面积为S=1r2=122（-2）r2.

（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,

即l=20-2r (0＜r＜10) ①

扇形的面积S=12lr，将①代入，得

S=1(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)22+25,

所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时

l=20-2×5=10,=lr=2.

所以当=2 rad时，扇形的面积取最大值.

例3 （14分）已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.

解 ∵角的终边在直线3x+4y=0上，

∴在角的终边上任取一点P（4t,-3t） (t≠0),

则x=4t,y=-3t,

r=x2y2(4t)2(3t)25t,

当t＞0时，r=5t,

sin=yr3t5t35,cos=xr4t5t45,tan=y3t3x4t4;

当t＜0时，r=-5t,sin=y3tr5t35,

cos=x4tr5t45,

tan=yx3t34t4.

综上可知，t＞0时，sin=3,cos=4,tan=3554;

t＜0时，sin=3,cos=-4,tan=3554.

例4 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:

(1)sin≥312;(2)cos≤2.

解 （1）作直线y=32交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的

2分

4分

8分

12分

14分

7

区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为

|2k+3≤≤2k+23，k∈Z .

（2）作直线x=12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为

|2k+23≤≤2k+43，k∈Z .

1.已知是第三象限角，问3是哪个象限的角？

解 ∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），

60°+k·120°＜3＜90°+k·120°.

①当k=3m(m∈Z)时，可得

60°+m·360°＜3＜90°+m·360°（m∈Z）.故3的终边在第一象限.

②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得

180°+m·360°＜3＜210°+m·360°（m∈Z).故3的终边在第三象限.

③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得

300°+m·360°＜3＜330°+m·360°（m∈Z）.故3的终边在第四象限.

综上可知，3是第一、第三或第四象限的角.

2.已知扇形OAB的圆心角为120°，半径长为6,

（1）求 的弧长；

（2）求弓形OAB的面积.

解 （1）∵=120°=23rad，r=6，

∴ 的弧长为l=23×6=4.

(2)∵S扇形OAB=12lr=12×4×6=12，

S△ABO=1r2·23=12×62×32sin2=93，

∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12-93.

3.已知角的终边在y轴上，求sin、cos、tan的值.

解 ∵角的终边在y轴上，

∴可在的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t.

∴r=x2y2=02t2=|t|.

8

当t＞0时，r=t,sin=ytyx0==1,cos===0,tan=不存在；

rtrtxy0ytx==-1,cos===0,tan=不存在.

rtrtx当t＜0时，r=-t，sin=综上可知：sin=±1,cos=0,tan不存在.

4.求下列函数的定义域：

（1）y=2cosx1；（2）y=lg(3-4sinx）.

解 （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).

∴x∈2k,2k（k∈Z）.

33122（2）∵3-4sinx＞0,∴sinx＜,

∴-33＜sinx＜.

222234利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),

∴x∈（k-,k+）（k∈Z).

33

一、填空题

1.已知cos·tan＜0,那么角是第 象限角.

答案 三或四

2.若0＜x＜42，则sinx

2x（用“＞”,“＜”或“=”填空）.

2答案 ＞

3.与610°角终边相同的角表示为 .

答案 k·360°+250°(k∈Z)

4.已知（）12sin2＜1,则所在象限为第 象限.

答案 一或三

5.已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第 象限.

答案 二

6.已知∈,且sin+cos=a，其中a∈(0，1），则关于tan的值，以下四个答案中，可22能正确的是 （填序号）.

①-3

答案 ③

7.已知角的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则答案 2

9

sinsincoscos .

②3或

13③-

13 ④-3或-

13

8.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= ,其中t∈［0,60］.

答案 10sin二、解答题

9.已知sin=3a11a,cos=,若是第二象限角，求实数a的值.

1a1at

60解 ∵是第二象限角，∴sin＞0,cos＜0,

1a0sin111a∴，解得0＜a＜.

31cos3a101a又∵sin+cos=1,

1a3a1∴1,

1a1a2222解得a=或a=1(舍去），故实数a的值为.

10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；

（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解 设扇形半径为R，中心角为，所对的弧长为l.

12R4,（1）依题意，得

2R2R10,1919∴2-17+8=0,∴=8或.

∵8＞2π,舍去,∴=.

(2)扇形的周长为40,∴R+2R=40，

1R2R1121S=lR=R=R·2R≤100.

22442221212当且仅当R =2R,即R=10,

=2时面积取得最大值，最大值为100.

11.设为第三象限角，试判断解 ∵为第三象限角，

∴2k+＜＜2k+k+23 (k∈Z),

2sincos2的符号.

22k3 (k∈Z).

4当k=2n (n∈Z)时，2n+此时2232n,

24在第二象限.

10

∴sin2＞0,cos2＜0.

22＜0.

因此sincos当k=2n+1(n∈Z)时，

3＜＜(2n+1)+(n∈Z),

24237即2n+＜＜2n+(n∈Z)

(2n+1)+224此时2在第四象限.

＜0,cos2＜0.

2∴sin22＞0,因此sincos2＜0,

2综上可知：sincos12.角终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sin·cos+sin·cos+tan·tan的值.

解 由题意得，点P的坐标为（a,-2a)，

点Q的坐标为（2a，a）.

sin=cos=tan=sin=cos=tan=2aa(2a)aa(2a)22222a5aa5a22,

,

2a2,

aa(2a)a2a(2a)aa1,

2a22222a5a2a5a22,

,

故有sin·cos+sin·cos+tan·tan

=2a5a2a5a2a5a22a5a2(2)1=-1.

2

§4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

11

基础自测

21.（2008·常州模拟）sin(+)-cos(+)·cos(-)+1的值为 .答案 2

210°= .答案

12

3.已知tan=132,且∈,，则sin的值是 .答案

525

4.若sincos33sincos=2,则sin(-5)·sin

2= .答案

105.已知sin=55，则sin4-cos4的值为 .答案

35

例1 已知f()=sin()cos(2)tan()tan()sin();

(1)化简f();

(2)若是第三象限角，且cos3215，求f()的值.

解 （1）f（）=sincos(tan)tansin=-cos.

(2)∵cos32=-sin,

∴sin=-15,cos=-52125256,

∴f()=256.

例2 （14分）已知-2＜x＜0,sinx+cosx=15.

(1)求sinx-cosx的值；

（2）求1cos2xsin2x的值.

解 （1）方法一 联立方程：

sinxcosx1　5　

①

sin2xcos2x1　②由①得sinx=15-cosx,将其代入②，整理得

25cos2x-5cosx-12=0.

∵-2＜x＜0,

∴sinx35,

cosx45

2分

4分

12

所以sinx-cosx=-75.

方法二 ∵sinx+cosx=15,

∴(sinx+cosx)212=5,

即1+2sinxcosx=125,

∴2sinxcosx=-2425.

∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x

=1-2sinxcosx=1+2425=4925

又∵-2＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,

∴sinx-cosx＜0

由①②可知：sinx-cosx=-75.

(2)由已知条件及（1）可知

13sinxcosx5,解得sinx5,

sinxcosx75cosx45∴tanx=-34.

又∵1sin2xcos2x

cos2xsin2xcos2xsin2xsin2xcos2x=cos2xcos2xsin2x

cos2x=tan2x1

1tan2x231=425

1327.

4例3 已知tan=2,求下列各式的值：

1）2sin3cos4sin9cos;

(2)

2sin23cos24sin29cos2;

(3)4sin2-3sincos-5cos2.

解 （1）原式=2tan32234tan94291.

7分

2分

① 4分

②

7分

9分

11分

13分

14分

13

（

（2）2sin23cos2322234sin29cos22tan24tan29422957.

(3)∵sin2+cos2=1,

∴4sin2-3sincos-5cos2

=4sin23sincos5cos2sin2cos2

=4tan23tan544325tan21411.

tan()cos(2)sin31.化简2cos()sin().

(tan)cos()sin解 原式=2cos()sin()

(tan)cos()sin=2(cos)sin

=tancos(cos)tancoscossin=sin

=sincosacosasin=-1.

2.已知sin +cos=15,∈(0,).求值：

（1）tan;(2)sin-cos;(3)sin3+cos3.

解 方法一 ∵sin+cos=15,∈(0,),

∴(sin+cos)2=125=1+2sincos，

∴sincos=-1225＜0.

由根与系数的关系知，

sin,cos是方程x2-1x-12525=0的两根，

解方程得x1=4,x2=-355.

∵sin＞0,cos＞0,∴sin=4,cosθ=-355.

∴(1)tan=-43.

(2)sin-cos=75.

14

(3)sin3+cos3=37125.

方法二 （1）同方法一.

（2）（sin-cos）2=1-2sin·cos

=1-2×12=49.

2525∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0,

∴sin-cos=75.

(3)sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)

=112375×125=125.

3.已知sin(+k)=-2cos(+k) (k∈Z).

求:(1)4sin2cos5cos3sin;

(2)1224sin2+5cos.

解 由已知得cos(+k)≠0,

∴tan(+k)=-2(k∈Z),即tan=-2.

（1）4sin2cos4tan25cos3sin53tan10.

122(2)

1222sin5cos24sin+5cos=4sin2

cos21tan22=4517.

tan225

一、填空题

1.是第四象限角，tan=512，则sin= .

答案

513

2.（2008·浙江理）若cos+2sin=-5,则tan= .

答案 2

3.（2008·四川理）设0≤＜2,若sin＞3cos,则的取值范围是 .

答案

,43

3

15

4.

是第四象限角，cos=1213，则sin= .

2(+)-cos(+)cos(-)+1的值为 .答案 2

6.若sin+cos=tan

02，则的取值范围是 .答案

4,3

7.如果cos=1,且是第四象限的角,那么cos2652= .答案

5

8.化简:sin2()cos()cos(2)tan()sin3(= .答案 1

2)sin(2)二、解答题

9.已知cos(+)=-12,且是第四象限角，计算：

(1)sin(2-);

(2)

sin(2n1)sin(2n1)sin(2n)cos(2n) (n∈Z).

解 ∵cos(+)=-1,∴-cos=-1,cos=1222,

又∵是第四象限角，∴sin=-1cos232.

（1）sin(2-)=sin［2+(-)］

=sin(-)=-sin=32.

（2）sin(2n1)sin(2n1)sin(2n)cos(2n)

=sin(2n)sin(2n)sin(2n)cos(2n)

=sin()sin()sincos

=sinsin()sincos=2sin2sincos=cos=-4.

10.化简：1cos4sin4.

1cos6sin6解 方法一 原式=(cos2sin2)2cos4sin4(cos2sin2)3cos6sin6

=2cos2sin23cos2sin2(cos2sin2)23.

方法二 原式=(1cos2)(1cos2)sin4(1cos2)(1cos2cos4)sin6

16

解 方法一 当k为偶数时，设k=2m (m∈Z),则

方法二 由(k+)+(k-)=2k,

［(k-1)-］+［(k+1)+］=2k,

得sin(k-)=-sin(k+),

cos［(k-1)-］=cos［(k+1)+］

=-cos(k+),

sin［(k+1)

+］=-sin(k+).

已知sin(-)-cos(+)=232.求下列各式的值：（1）sin-cos;

17

12.