三角函数常用公式表

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07高中数学会考复习提纲（2）（三角函数）

第四章 三角函数

1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；

（2）、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合{|k360,kZ}

（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。

2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

y

P（x，y）

180'（2）、度数与弧度数的换算：180弧度，1弧度()5718

r

22（3）、弧长公式：l||r （是角的弧度数）



rxy0

扇形面积：S11lr||r2

220

x

3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）、各象限的符号：

y

yyrsin　　　tan　　　sec　　O

x

rxx

_

_

xxrcos　　　cot　　　cscryysin

（3）、 特殊角的三角函数值

+

+

_

_

y

+

O

x

_

O

y

+

_

x

+

+

cos

tan

的角度

0

的弧度

0

sin

cos

30

45

60

90

120

135

150

180

270

360

5

6

61

23

23

3

42

2

33

2

21

0

—

2

33

23

42

2

0

3

22

0

0

1

23

23

31

0

—

1

0

2

21

23

1

23

2

21

0

1

0

tan

1

1

4、同角三角函数基本关系式

（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：

sin

cos

sin2cos21

tan1tan2sec2

cotsin

tancot1

costan

1

cot

cos

sincsc1

sinsec

csc

1cot2csc2

cossec1

（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）

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2222①、sin1cos，

sin1cos2；cos1sin，

cos1sin2；

cos2sin22cos2sin22cos2②tancot，cottan2cot2

sincossin2sincossin2③(sincos)212sincos1sin2，

1sin2|sincos|

5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）

公式一：

sin(k360)sin　　cos(k360)cos　　tan(k360)tan

公式二： 公式三： 公式四： 公式五：

sin(180)sintan(180)tansin(sin(180)sintan(180)tansin(sin()sintan()tansin(360)sin　　tan(360)tancos(180)cos

cos(180)cos

cos()cos

cos(360)cos　　

33sin()cossin()cos2222补充：cos()sin

cos()sin

cos(3)sin

cos(3)sin

222233tan()cottan()cottan()cottan()cot2222)cos)cos6、两角和与差的正弦、余弦、正切

S()：sin()sincoscossin

S()：sin()sincoscossin

C()：cos(a)coscossinsin

C()：cos(a)coscossinsin

T()：

tan()tantantantan

T()：

tan()

1tantan1tantanT()的整式形式为：tantantan()(1tantan)

例：若AB45，则(1tanA)(1tanB)2．（反之不一定成立）

7、辅助角公式：asinxbcosxa2b2absinxcosx

2222ababa2b2(sinxcoscosxsin)a2b2sin(x)

（其中称为辅助角，的终边过点(a,b)，tanb） （多用于研究性质）

a8、二倍角公式：（1）、S2：

sin22sincos （2）、降次公式：（多用于研究性质）

C2：

cos2cos2sin2

sincossin2

12

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12sin1cos211cos2

2222tan1cos2112T2：

ta2

ncoscos222221tan22cos21

sin2（3）、二倍角公式的常用变形：①、1cos22|sin|，

1cos22|cos|；

②、11cos2|sin|，

11cos2|cos|

2222422sin2244③、sincos12sincos1；

cossincos2；

24④半角：sin21cos1cos1cos1cossin，cos，tan

22221cossin1cos9、三角函数的图象性质

（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，当x取定义域内的每一个值时，都有：f（x+T）= f（x），那么函数f（x）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；

②、如果函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f（x）的最小正周期。

（2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，

都有：f（-x）= - f（x），则称f（x）是奇函数，f（-x）= f（x），则称f（x）是偶函数

②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；

③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称；

（3）、正弦、余弦、正切函数的性质（kZ）

函数 定义域 值域

[-1，1]

[-1，1]

周期性 奇偶性

奇函数

递增区间 递减区间

3

22k,22kysinx

xR

xR

2T2



2k,2k22ycosx

T2

偶函数

T

奇函数

(2k1),2k

k,k

222k,(2k1)

ytanx

{x|xk}

（-∞,+∞）

3，1），（，0），（，-1），（2，0）；

223（0，1），（，0），（，-1），（，0），（2，1）；

ycosx图象的五个关键点：22y

（0，0），（ysinx图象的五个关键点：





1

ysinx

0



2

2

3

2y

2

x



3

2-1

y

1



ycosx

0

2

o



23

x

2

2

2

3

2ytanx

2

x

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2；对称轴是直线xk；

yAcos；

(x)的周期Tycosx的对称中心为（k,0）2；

yAtan(x)的周期T；

ytanx的对称中心为点（k,0）和点（k,0）22(4)、函数yAsin(x)(A0,0)的相关概念：

函数 定义域 值域

[-A，A]

振幅

A

周期 频率

初相

x



相位 图象

五点法

；对称轴是直线xkysinx的对称中心为（k,0）；

yAsin(x)的周期T2；

yAsin(x)

xR

T2f1

T2yAsin(x)的图象与ysinx的关系：

①、振幅变换：ysinx

当0A1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍

yAsinx

当当A1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍

1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的②、周期变换：ysinx

ysinx

1当0当图象上各点的纵坐标伸长到原来的1时，1倍

倍

0时，图象上的各点向左平移个单位倍

③、相位变换：ysinx

ysin(x)

当0时，图象上的各点向右平移||个单位倍

个单位倍

④、平移变换：yAsinx

yAsin(x)

当0时，图象上的各点向右平移||个单位倍



当0时，图象上的各点向左平移

常叙述成： ①、把ynsi（0时）或向右（0时）平移||个单位得到ysin(x)；

x上的所有点向左②、再把ysin(x)的所有点的横坐标缩短（1）或伸长（01）到原来的1倍（纵坐标不变）得到ysin(x)；③、再把ysin(x)的所有点的纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）到原来的A倍（横坐标不变）得到yAsin(x)的图象。

先平移后伸缩的叙述方向：yAsin(x)

先平移后伸缩的叙述方向：

yAsin(x)Asin[(x10、反三角：

求角条件

sinxa（1a1）x的值 x的范围

x,22)]

当x为钝角时

xarcsina（反正弦）

xarcsina （0a1）

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cosxa（1a1）

xarccosa（反余弦）

x0,



x,22xarccosa （1a0）

tanxa（aR）

11、三角函数求值域

xarctana（反正切）

xarctana （a0）

（1）一次函数型：yAsinxB，例：y2sin(3x用辅助角公式化为：yasinxbcosx12)5，ysinxcosx

a2b2sin(x)，例：y4sinx3cosx

（2）二次函数型：①、二倍角公式的应用：ysinxcos2x

②、代数代换：ysinxcosxsinxcosx

第五章、平面向量

1、空间向量：（1）、定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。

（2）、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的。

（3）、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a平行的单位向量：ea|a|；

（4）、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作a//b；规定0与任何向量平行；

（5）、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；

任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

2、向量的运算：（1）、向量的加减法：

向量的加法

三角形法则

平行四边形法则

向量的减法

a

b

b

b

b

a

ab

b

a

首位连结

a

b

ab

a

a

ab

指向被减数

（2）、实数与向量的积：①、定义：实数与向量a的积是一个向量，记作：a；

②：它的长度：|a||||a|；

a与向量a的方向相同；a与向量a的方向相反；a=0；③：它的方向：当0，当0，当0时，

3、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2；

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不共线的向量e1,e2叫这个平面内所有向量的一组基向量，{e1,e2 }叫基底。

4、平面向量的坐标运算：（１）、运算性质：abba,abcabc,a00aa

（２）、坐标运算：设ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则ABx2x1,y2y1.

（3）、实数与向量的积的运算律: 设ax,y，则λax,yx,y，

00（4）、平面向量的数量积：①、 定义：ababcosa0,b0,0180 ，

0a0.

①、平面向量的数量积的几何意义：向量a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积；

③、坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2 ；

向量a的模|a|：|a|2aaxy；模|a|22x2y2

x1x2y1y2x1y122④、设是向量ax1,y1,bx2,y2的夹角，则cosx2y222，a

bab0

5、重要结论：（1）、两个向量平行的充要条件：

a//bab

(R)

设ax1,y1,bx2,y2，则a//b

x1y2x2y10

（2）、两个非零向量垂直的充要条件：abab0

设

ax1,y1,bx2,y2，则

abx1x2y1y20

（3）、两点Ax1,y1,Bx2,y2的距离：|AB|(x1x2)2(y1y2)2

（4）、P分线段P1P2的：设P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且P（即1PPP2 ，|P1P||PP2|）

x则定比分点坐标公式yx1x2x1x2x12 ， 中点坐标公式

y1y2yy2y112'xxh,（5）、平移公式：如果点 P（x，y）按向量ah,k 平移至P′（x′，y′），则'

yyk. 6、解三角形：（1）、三角形的面积公式：S（2）、在△ABC中：ABC180，

111absinCacsinBbcsinA

222因为AB180C：sin(AB)sinC，

cos(AB)cosC，

tan(AB)tanC

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因为AB90C：sin(AB)cosC，

cos(AB)sinC，

tan(AB)cotC

22222222abc2R,边用角表示：a2RsinA,　b2RsinB，　c2Rsin

sinAsinBsinCa2b2c2aba2b2c22bccosA222（3）、正弦定理，余弦定理

①、正弦定理：②、余弦定理：bac2accosB若：abc2ab则：

222c2a2b22abcosC(ab)22ab(1cocC)a2b2c23abb2c2a2a2c2b2a2b2c2　　　　cosB　　　　cosC求角：

cosA

2bc2ac2ab