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2023年12月25日发(作者：option英语)

函数值域的八大求法

方法一：观察法

2y4x 例1. 求函数222x0及4x0,知4x[0,2]。故此函数值域为[0,2]。的值域。 解析：由

方法二：不等式法

(x21)2y(x0)2x 例2. 求函数的值域。

(x21)2x42x2112y2x4222xxx解析：，此函数值域为[4,)。

方法三：反函数法

y 例3. 求函数x1(x4)x2的值域。

x得 y

0 1 2 x

-1 (1,-1)

-2

解析：由x1yx22y12y154y或y11y。由x4，得1y2，解得。此函数值域为5(,1)[,)2。

方法四：分离常数法

6(x21)2y46x13x26的值域。 例4. 求函数x211241411224226(x1)6x12x6625256x13x62y46x136x13x266x413x26x2 解析：：。[从而易知此函数值域为24,1]25。

y评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。注意形如方法五：判别式法

cxdcc(,)(,)(a0,bcad)aaaxb的值域为。

x21y2xx1的值域。 例5. 求函数解析：原式整理可得(y1)x22y10即y1时，x2原式成立。y10即y1时，yx(y1)0。当当y25252525或y(,][,)y4(y1)[(y1)]0，解得55。综上可得原函数值域为55。

y10时的情况。 评注：此方法适用于x为二次的情形，但应注意方法六：图象法

y 例6. 求函数1x11(x0)的值域。

(,2](1,)。

解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为方法七：中间变量法

x23y2x5的值域。 例7. 求函数

x2解析：由上式易得5y35y33x20,知0,解得y或y1y1。由y15。故此函数值域为3(,](1,)5。

方法八：配方法

例8. 求函数yx2x3的值域。

2y(x1)22，故此函数值域为[2,)。 解析：因为


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