反三角函数的概念和性质总结

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反三角函数的概念和性质

一．基本知识：

1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；

2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx,

x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；

3．符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；

4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；

5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x,

x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；

6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；

7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝例一．下列各式中成立的是（C）。

, arctgx＋arcctgx＝的应用。

（A）arcctg(－1)＝－ （B）arccos(－)＝－

（C）sin[arcsin(－)]＝－ （D）arctg(tgπ)＝π

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解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],

(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。

例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。

（A）y＝sinx, x∈[－π, 0] （B）y＝sinx, x∈[, ]

（C）y＝sinx, x∈[,] （D）y＝sinx, x∈[,]

解：本题是判断函数y＝sinx在哪个区间上是单调函数，由于y＝sinx在区间[上是单调递减函数， 所以选D。

例三． arcsin(sin10)等于（C）。

（A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π

,]解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。

由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。

, ], 所以选C。

（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.

解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2

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由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),

∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].

(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],

∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny,

∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ].

例五．求下列函数的定义域和值域：

(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),

解：(1) y＝arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).

(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤,

由于－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.

(3) y＝arcctg(2x－1), 由于2x－1>－1, ∴ 0< arcctg(2x－1)<例六．求下列函数的值域：

, ∴ x∈R, y∈(0, ).

(1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx.

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解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).

(2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数,

∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,].

例七．判断下列函数的奇偶性：

(1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx.

解：(1) f (x)的定义域是R， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x),

∴ f (x)是偶函数;

(2) f (x)的定义域是R,

f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x),

∴ f (x)是奇函数.

例八．作函数y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的图象.

解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 图象略。

例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。

解：arcsin<, arctg<, arccos(－)>, ∴arccos(－)最大,

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设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝

∴ arctg< arcsin< arccos(－).

例十．解不等式：(1) arcsinx.

解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝数，

时, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函∴ 当x∈[－1, )时, arcsinx

(2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx>, ∴ arcsinx>＝arcsin,

∵ arcsinx是增函数, ∴

二．基础知识自测题：

1．函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] .

.

3．函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.

4．函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝.

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6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.

7．若cosx＝－, x∈(, π)，则x＝.

8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，则x＝.

9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝

三．基本技能训练题：

1．下列关系式总成立的是（B）。

.

（A）π－arccosx>0 （B）π－arcctgx>0 （C）arcsinx－2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。

≥0 （D）arctgx－>0

（A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝arcctgx

3．不等式arcsinx>－

四．试题精选：

(一) 选择题：

的解集是. 4．不等式arccosx>的解集是.

1．cos(arccos)的值是（D）。

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（A） （B） （C）cos （D）不存在

2．已知arcsinx>1，那么x的范围是（C）。

（A）sin1

3．已知y＝arcsinx·arctg|x| (－1≤x≤1)， 那么这个函数（A）。

（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

4．若a＝arcsin(－（B）。

), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，则a, b, c的大小关系是（A）a

5．已知tgx＝－, x∈(, π)，则x＝（C）。

（A）＋arctg(－)（B）π－arctg(－)（C）π＋arctg(－)（D）

6．函数f (x)＝2arccos(x－2)的反函数是（D）。

（A）y＝(cosx－2) (0≤x≤π) （B）y＝ cos(x－2) (0≤x≤2π)

（C）y＝ cos(＋2) (0≤x≤π) （D）y＝ cos＋2 (0≤x≤2π)

7．若arccosx≥1，则x的取值范围是（D）。

（A）[－1, 1] （B）[－1, 0] （C）[0, 1] （D）[－1, arccos1]

8．函数y＝arccos(sinx) (－

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（A）(, ) （B）[0, ] （C）(, ) （D）[,]

9．已知x∈[－1, 0]，则下列等式成立的是（B）。

（A）arcsin＝arccosx （B）arcsin＝π－arccosx

（C）arccos＝arcsinx （D）arccos＝π－arcsinx

10．直线2x＋y＋3＝0的倾斜角等于（C）。

（A）arctg2 （B）arctg(－2) （C）π－arctg2 （D）π－arctg(－2)

(二) 填空题：

11．若cosα＝－ (<α<π)，则α＝. (用反余弦表示)

12．函数y＝(arcsinx)2＋2arcsinx－1的最小值是 －2 .

13．函数y＝2sin2x (x∈[－, ])的反函数是.

14．函数y＝arcsin的定义域是 x≤1或x≥3 ，值域是

15．用反正切表示直线ax－y＋a＝0 (a≠0)的倾斜角为α＝

(三) 解答题：

16．求下列函数的反函数：

(1) y＝3cos2x, x∈[－, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0

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解：(1) x∈[－, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函数y＝3cos2x在定义域内是单值函数.

且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋2x), cos(π＋2x)＝－,

∴ π＋2x＝arccos, ∴x＝arccos－,

∴y＝3cos2x, x∈[－, 0]的反函数是y＝arccos－, －3≤x≤3.

(2) ∵0

∴ 原函数的反函数是y＝, π≤x<.

17．求函数y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及相应的x的值。

解：函数y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π]

设arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－)2－,

∴ 当t＝时,即x＝cos时, 函数取得最小值－，

当t＝π时,即x＝－1时，函数取得最大值π2－3π.

18．若f (arccosx)＝x2＋4x, 求f (x)的最值及相应的x的值。

解：设arccosx＝t, t∈[0, π], x＝cost, 代入得f (t)＝cos2t＋4cost,

∴ f (x)＝cos2x＋4cosx, x∈[0, π], cosx∈[－1, 1], f (x)＝(cosx＋2)2－4,

∴ 当cosx＝－1时,即x＝π时，函数取得最小值－3.

当cosx＝1时,即x＝0时，函数取得最大值5.

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19．(1)求函数y＝arccos(x2－2x)的单调递减区间; (2)求函数arctg(x2－2x)的单调递增区间。

解：(1) 函数y＝arccosu, u∈[－1, 1]是减函数，

∴ －1≤x2－2x≤1,1－＝(x－1)2＋1,

∴ 1≤x≤1＋时, u＝x2－2x为增函数，根据复合函数的概念知此时原函数为减函数。

≤x≤1＋, 又x2－2x(2) 函数y＝arctgu增函数, u∈R, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,

∴ 当x≥1时，原函数是增函数。

20．在曲线y＝5sin(arccos求出这个最远距离

)上求一个点，使它到直线x＋y－10＝0的距离最远，并解：设arccos＝α, －3≤x≤3, cosα＝,

y＝5sinα＝5,

∴ 25x2＋9y2＝225, －3≤x≤3, 0≤y≤5, 即在上半个椭圆上求一个点，使它到直线的距离最远。从图形上可以看出，当点在椭圆左端时，即P(－3, 0)时满足条件，此时最远距离是.

三角函数和反三角函数

一、三角函数

1．图像和性质：

（1）画出正弦函数的图像并写出它的定义域、值域、单调区间、周期、奇偶性、对称性和对称中心；

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（2）画出余弦函数的图像并写出它的定义域、值域、单调区间、周期、奇偶性、对称性和对称中心；

（3）画出正切函数的图像并写出它的定义域、值域、单调区间、周期、奇偶性、对称性和对称中心；

2．函数yAsin(x)(A0,0)

（1）写出它的振幅、周期、频率和初相；

（2）描述五点作图法的步骤；

（3）写出对于ysinx的图像，如何通过平移、伸缩等变化得到yAsin(x)；

（4）写出对于ycosx的图像，如何通过平移、伸缩等变化得到yAsin(x)．

3．例题解析：

1．设T1、T2、T3分别是函数F(x)2tanx3,G(x)2sinxsin(x)1tan2x2，

T(x)cos22xsin22x的最小正周期，则有（ ）

A．T1T2T3 B．T1T2T3

T3T1T2 D．T3T2T1 C．

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ysin(2x)6的图象可由ycosx的图象经下面变换得到（ ）

2．函数1A． 先纵坐标不变，横坐标变为原来的2，再向右平移3个单位；

B． 先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移6个单位；

1C． 先纵坐标不变，横坐标变为原来的2，再向右平移6个单位；

D． 先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移3个单位．

3．是正实数，函数f(x)2sinx[在3,4]上是增函数，那么（

0324 A．2 B．02 C．07

D．2

4．函数y3sinx2cosx的值域是（ ）

A．

[1,1] B．

[3,3] C．(12,14)

5．函数f(x)sinxcosx1sinxcosx的值域是（ ）

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）

D．[1,3]

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A．[21,21] B．[2121,]22

C．

[212122[,1)(1,]1,1]2222 D．

6．求函数

ysin(cosx)的定义域和值域．

7．已知函数f(x)cosxasinx的图像有一条对称轴的方程为

x4，求a的值．

2tan,tanx8．已知是方程33x40的两根，若,(,)22，则

（ ）

A．3

2B．3或3

233C．或



2D．3

9．求斜边长为1的直角三角形内切圆半径的最大值．

10．定义：若对任意x1,x2(a,b)，函数f(x)恒有f(x1x2f(x1)f(x2))22成立，则称函数f(x)在(a,b)内为“上凸函数”．已知“上凸函数”有如下性质成立：对任全国中考信息资源门户网站

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f(x1x2xnf(x1)f(x2)f(xn))nn成意的xi(a,b)(i1,2,,n),必有立．

（1）求证：ysinx在(0,)内是“上凸函数”；

（2）在外接圆半径为R的ABC中，求周长l的最大值．

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二、反三角函数

1．图像和性质：

（1）指出原函数和反函数的转化和相互关系，研究反函数存在的条件，写出原函数与反函数有哪些共通的性质．

（2）画出反正弦函数的图像，并写出它的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性；

（3）画出反余弦函数的图像，并写出它的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性；

（4）画出反正切函数的图像，并写出它的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性；

2．反三角恒等式：

sin(arcsinx)x

arcsin(xsinx（这两个式子成立需要什么条件？）)

cos(arccosx)x

arccos(xcosx（这两个式子成立需要什么条件？）)

tan(arctanx)x

arctan(xtanx（这两个式子成立需要什么条件？）)

3．三角方程：

（1）写出sinxa的通解形式；

（2）写出cosxa的通解形式；

（3）写出tanxa的通解形式．

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4．例题解析：

11．给出四个命题：①函数ysinx和yarcsinx都是周期函数；②函数ycosx和yarccosx都是偶函数；③函数ytanx和yarctanx的定义域都是(,)；④函数ycotx和yarccotx都是定义域上的减函数，其中正确命题的个数是（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

12．设(0,1)，则在[0,2]内，使sinx的x的范围是（ ）

A． [0,arcsin] B．

[arcsin,arcsin]

C．[arcsin,]

D．

[arcsin,2arcsin]

2arccosx3，则x的取值范围是（ ）．

13．若1[,1]A．2

2f(x)sinxarcsinxf(1a)f(1a)0，求

14．已知，若B．[0,2]3

1[1,]2 C．2,] D．

3

[

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