三角函数定义及其三角函数公式大全

三角函数定义及其三角函数公式大全

一：初中三角函数公式及其定理

1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

a2b2c2

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义 表达式 取值范围 关 系

A的对边正0sinA1

a

sinA

sinAc弦 (∠A为锐角)

斜边A的邻边余0cosA1

b

cosA

cosAc弦 (∠A为锐角)

斜边A的对边正tanA0

a

tanA

tanAb切 (∠A为锐角)

A的邻边A的邻边余cotA0

b

cotA

cotAa切 (∠A为锐角)

A的对边sinAcosB

cosAsinB

sin2Acos2A1

tanAcotB

cotAtanB

1(倒数)

tanAcotA tanAcotA1

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B

由AB90得B90A

sinAcosBcosAsinB

sinAcos(90A)cosAsin(90A)斜边

c

a

边C

对

A

b

邻边

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

由AB90

tanAcotB

cotAtanB

得B90AtanAcot(90A)cotAtan(90A)

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

三角函数 0°

0

10

30°

1

245°

2260°

3

21

290°

1

0-

sin

cos

3

23

322tan

1

3

cot

-

3

1

3

3

0 6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：

当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：a2b2c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

铅垂线仰角俯角视线水平线h

ih:llα视线

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i一般写成1:m的形式，如i1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么ih。坡度lhtan。

l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），

南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

二：三角函数公式大全

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

诱导公式

平方关系：

sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

sin（π－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cos（π－α）＝－cosα

cot（π/2－α）＝tanα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sin（π＋α）＝－sinα

sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π/2＋α）＝－tan（π＋α）＝tanα

cotα

cot（π＋α）＝cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα ·tanβ

半角的正弦、余弦和正切公式

万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan2(α/2)

三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

三角函数的和差化积公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的积化和差公式

1

sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

2

1

cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]

2

1

cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

2

1

sinα ·sinβ＝－ -[cos（α＋β）－cos（α－β）]

2

化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）

α＋β α－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—

2 2

α＋β α－β

sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—

2 2

α＋β α－β

cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—

2 2

α＋β α－β

cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—

2 2