余弦定理公式大全

正弦、余弦定理 解斜三角形

建构知识结构

1．三角形基本公式：

（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

CABCAB=sin, sin=cos

2222111（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB

222abcS= pr =p(pa)(pb)(pc) (其中p=, r为内切圆半径)

2cos（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA

2．正弦定理：abc2R外

sinAsinBsinC证明：由三角形面积

111SabsinCbcsinAacsinB

222abc得

sinAsinBsinCabc画出三角形的外接圆及直径易得：2R

sinAsinBsinC222bca3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,

cosA；

2bc证明：如图ΔABC中，

CbaCHbsinA,AHbcosA,BHcbcosA

a2CH2BH2b2sin2A(cbcosA)2b2c22bccosA

AHcB当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．

4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

有三种情况：bsinA

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

练习题

1．(2006山东)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A C.31 D.3

3,a3,b1，则c （ ）

2．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（ ）

A.32333 B. C. D.33

2223．（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是

A.等腰直角三角形

C.等腰三角形

B.直角三角形

D.等边三角形

4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )

2A.

85cm B.

610cm C.

355cm D.

20cm

2225.（2006全国Ⅱ）已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为_________.

6.(2006春上海)在△ABC中，已知BC8, .

a2c2b2◆答案:; 3.由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.

acAC5，三角形面积为12，则cos2C

4.组成边长6,7,7时面积最大; 5.

3; 6.

7

25四、经典例题

【例1】(2006天津)如图，在ABC中，AC2，BC1，cosC（1）求AB的值；

（2）求sin2AC的值.

解（Ⅰ）： 由余弦定理，

ABACBC

41221∴AB2223．

432.

42.

（Ⅱ）解：由cosC3，且0C,得

4

sinC1cos2C由正弦定理:

7.

4ABBC,

sinCsinABCsinC1452。所以，cosA。由倍角公式

AB8857，

16解得sinAsin2Asin2AcosA且cos2A12sinA29，故

1637.

8sin2ACsin2AcosCcos2AsinC◆解读思想：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.

【例2】在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．

asinB3sin453解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b

b22所以有两解A=60°或A=120°

bsinC(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=sinBbsinC(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=sinB2sin75sin452sin15sin4562,

262

2◆解读思想：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．

【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救

甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）

[解] 连接BC,由余弦定理得

BC2=202+102－2×20×10COS120°=700

 于是,BC=107

A_

_

B ∵3sinACBsin120, ∴sin∠ACB=,

720107_

C

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援

30°

点拨纠正:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形

的方法；

【例4】已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有

2Rsin2Asin2C解：由已知条件得

2absinB成立，求△ABC面积S的最大值．

2R2sin2Asin2B2RsinB2ab．即有

a2c22abb2，

3a2b2c22又

cosC ∴

c ．AB

2ab244∴

S122absinCab4R2sinAsinB

2442R2sinAsin(2R2sinA(23A)4

22cosAsinA)22R(sin2A1cos2A)2R2[2sin(2A)1]24当2A42,即A3212(B)时,

SmaxR．

28◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。

2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

【研讨.欣赏】

（2006江西）如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,

M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G.设MGA(32).

3(1) 试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为的函数;

(2) 求y11的最大值与最小值.

2S12S2解:

(1)因为G为边长为1的正三角形ABC的中心,

所以AG233, MAG.

3236

由正弦定理GMsin6GAsin()6,得GM36sin()6,

则S11sin1GMGAsin(或).

26(3cot)12sin()6GAsin()6又GNsin6,得GN36sin()6,

1sin1则S2GNGAsin()(或).

26(3cot)12sin()6(2)y111442S12S2sin222sin()sin()72(3cot2).

6622,所以当或时,y的最大值ymax240;

333 因为3 当2时,

y的最小值ymin216.

提炼总结

1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；

2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

4．边角互化是解三角形的重要手段．

正弦、余弦定理 解斜三角形

【选择题】

1.（2004浙江）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

1”的 ( )

2B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2004全国Ⅳ）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为3，那么b等于 ( )

2

A.C.13

223

2

+3

+3

3..下列条件中，△ABC是锐角三角形的是 ( )

+cosA=1

5

·BC＞0

=3，c=33，B=30° +tanB+tanC＞0

4.(2006全国Ⅰ)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB

( )

A.

2213 B. C. D.

4344 【填空题】

5.（2004春上海）在ABC中，a、若A105，B45，b22，

b、c分别是A、B、C所对的边。则c__________

6.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.

练习简答：; 1.在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞答案：B

2. 2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.由S=12130°＜A＜150°A＞30°2113acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.得2423a2c2b24b212b2b24cosB====，解得b=1+3.答案：B

22ac2643.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.答案：C

; 6.若c最大，由cosC＞0.得c＜5.又c＞b－a=1，∴1＜c＜5.

【解答题】

7.（2004春北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及bsinB的值.

c剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可b2bsinB变形为=a，再用正弦定理可求的值.

cc解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.

又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.

在△ABC中，由余弦定理得

b2c2a2bc1cosA===，∴∠A=60°.

2bc2bc2bsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，

a∵b2=ac，∠A=60°，

3bsinBb2sin60∴=sin60°=.

2cac解法二：在△ABC中，

由面积公式得11bcsinA=acsinB.

22∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.

∴3bsinB=sinA=.

2c评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.

8.（2005春北京）在△ABC中，sinA+cosA=解法一：∵sinA+cosA=2cos（A－45°）=∴cos（A－45°）=2，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积.

22，

21.

2又0°＜A＜180°，

∴A－45°=60°，A=105°.

∴tanA=tan（45°+60°）=1313=－2－3.

∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）

=sin45°cos60°+cos45°sin60°=∴S△ABC==26.

41AC·ABsinA

2261·2·3·

423=（2+6）.

4解法二：∵sinA+cosA=∴（sinA+cosA）2=2，

2 ①

11.∴2sinAcosA=－.

22∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.

∴90°＜A＜180°.

∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=∴sinA－cosA=①+②得sinA=①－②得cosA=6.

23，

2 ②

26.

426.

4∴tanA=426sinA=·=－2－3.

4cosA26（以下同解法一）

9. （2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC中，sin（A+B）=（1）求证：tanA=2tanB；

（2）设AB=3，求AB边上的高.

剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.

（1）证明：∵sin（A+B）=31，sin（A－B）=.

5531，sin（A－B）=，

553sinAcosBcosAsinB5∴

1sinAcosBcosAsinB52sinAcosBtanA5=2.

1tanBcosAsinB5∴tanA=2tanB.

（2）解：π3＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.

253，

4∴tan（A+B）=－即263tanAtanB=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值舍去）.241tanAtanB26，∴tanA=2tanB=2+6.

2得tanB=设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=3CDCDCD+=.由AB=3得CD=2+6，所以AB边上的高为2+6.

tanAtanB26评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.

10. 在△ABC中，sinA=sinBsinC，判断这个三角形的形状.

cosBcosC分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.

解：应用正弦定理、余弦定理，可得

a=bcc2a2b2a2b2c22ca2ab，所以

c2a2b2a2b2c2bc,

2c2b化简得a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.

评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.

【探索题】已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+2sinA.

cosAcos（BC）（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化试证明你的结论.

（2）求y的最小值.

解：（1）∵y=cotA+=cot A+=cot A+2sinπ（BC）

coscosπ（BC）（BC）2sin（BC）

cos（BC）cos（BC）sinBcosCcosBsinC

sinBsinC=cotA+cotB+cotC，

∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.

（2）∵cos（B－C）≤1，

A2sinA2+2tanA=1（cotA+3tanA）≥3tanAcotA=3. ∴y≥cotA+=A2222221cosA2tan21tan2故当A=B=C=π时，ymin=3.

3评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥3.

可由三数的均值不等式结合cotA+cotB+cotC =cotAcotBcotC来证.