admin 管理员组

文章数量: 887021

初赛

1.加法原理:

完成一个工程可以有n类办法,a[i](1<=i<=n) 代表第i类方法的数目。

那么完成这件事共有  S = a[1]+a[2]+...+a[n]种不同的方法。 

2.乘法原理:

完成一个工程需要分n个步骤,a[i](1<=i<=n) 代表第i个步骤的不同方法数目。

那么完成这件事共有 S = a[1]*a[2]*...*a[n]种不同的方法。 

3.两个原理的区别:

加法原理:分类完成,每个方法是独立的。

乘法原理:分步完成,步与步是连续地,依次相继完成。

  

   4、捆绑与插空:

    例题:4人排成一队,甲和乙必须相邻,有多少种排队方法?

    【答案与分析】把甲乙捆绑,和另外两人排列。P(3,3)*2=12。

     例题:某人射击8枪,命中4枪,恰好有3枪连续命中,有多少种不同的情况?

    【答案与分析】20。

分析:因为连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻,因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别,不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列,即 P(5,2)。

    5、环形排列

    n 个人围成一圈,不同的排列方式有P(n-1,n-1)种。

  对于可以翻转的环形排列,还应该除以2.

 

组合

同样还是颁奖,这次我们颁的不是金、银、铜牌,而是 3 个一模一样的可乐瓶,所以给谁先颁奖后颁奖,结果都是一样的,Alice 先颁发到一个可乐瓶、Bob 后拿到,跟 Bob先拿到一个可乐瓶、Alice后拿到,两种结果都是一样的。

那么在 8 个人当中选 3 个人颁发一样的可乐瓶,有多少种颁发方法呢?

所以,我们只需要把「上一步排列获得的结果」除以「不同颁发顺序的总数」,得到的就是可乐瓶颁发方法的总数。

不同颁发顺序的总数有 3!种

所以,总共有这么多种:

如果要想在 n 个物品中,选择 k 个物品出来,选择的顺序无所谓,那么选择的方式总共有这么多种

排列称为 P。组合称为 C

P 和 C 的本质区别在于:决策的顺序对结果有没有影响。

下面举例说明

现在有8个人,他们的名字分别为:

 Alice

Bob

Catherine

Donald

Elizabeth

Floria

Gates

00008. Hinton

现在有 3 个奖杯,本别为 Golden 金牌,Silver 银牌,Bronze 铜牌。

我们的任务是:将这 3 个奖牌颁发给 8 个人中的 3 个,先颁发金牌,再颁发银牌,再颁发铜牌。这是一个排列的问题,因为把金牌先颁给 Alice,再把银牌颁给 Bob,跟把金牌先颁给 Bob,再把银牌颁给 Alice 这是两种不同的颁奖方式。

好了,现在假设我们先把金牌颁发给 Alice,再把银牌颁发给 Bob,再把铜牌颁发给 Catherine:

第一步:颁发金牌 ️,可以在8个人中任选一个,有8种选择。A可以被替换为 B C D E F G H中的任何一个。

第二步:颁发银牌 ,可以在除去已经获得金牌的人之外的7个人中任选一个,有7种选择。

第三步:颁发铜牌 ,在已经获得金牌、银牌的两个人之外的6个人中任选一个,有6种选择。

那么很明显,总共的颁奖方式有

8 * 7 * 6 种

以此类推,假如我们现在要颁发 8 个奖牌给 8个人,那么我们会按照上述方法,每次颁发一种奖牌,直到奖牌被颁发完为止,这样,颁发奖牌的方式总共有:

8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 种

但是,我们只颁发 3 个奖牌就不颁发了,所以等于

也就是:

如果我们现在有 n 个运动员,要按顺序地颁发 k 个奖牌,有多少不同的颁奖方式呢?答案是:

如果要想在 n 个物品中,按顺序的选择 k 个物品,那么选择的方式总共有这么多种:

本文标签: 初赛