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车站
题目描述
Description
火车从始发站(称为第1站)开出,在始发站上车的人数为a,然后到达第2站,在第2站有人上、下车,但上、下车的人数相同,因此在第2站开出时(即在到达第3站之前)车上的人数保持为a人。从第3站起(包括第3站)上、下车的人数有一定规律:上车的人数都是前两站上车人数之和,而下车人数等于上一站上车人数,一直到终点站的前一站(第n-1站),都满足此规律。现给出的条件是:共有N个车站,始发站上车的人数为a,最后一站下车的人数是m(全部下车)。试问x站开出时车上的人数是多少?
输入输出格式 Input/output
输入格式:
a(<=20),n(<=20),m(<=2000),和x(<=20),
输出格式:
从x站开出时车上的人数。
输入输出样例 Sample input/output
样例测试点#1 输入样例:
5 7 32 4
输出样例:
13
解题思路
这个题是模拟掺杂斐波那契数列。
现在用b【i】表示第i站的上车人数,c【i】表示第i站的下车人数,sum【i】表示在第i站上下车后车上的总人数。设在第二站上车的人数为k
下面通过列举b【i】看能不能发现点什么~
- b【1】:=a
- b【2】:=k
- b【3】:=a+k
- b【4】:=a+2k
- b【5】:=2a+3k
- b【6】:=3a+5k
通过比较每一个b【i】的系数,可发现,从第3站开始,a和k的系数都和斐波那契数列有关系,即可以递推出b【i】。现在用fa【i】表示b【i】中a的系数,用fb【i】表示b【i】中k的系数。
b【1】:=a;c【1】:=0;b【2】:=k;c【2】:=k;
可得sum【i】:=b【1】-c【1】+b【2】-c【2】+b【3】-c【3】+b【4】-c【4】+……+b【i-1】-c【i-1】+b【i】-c【i】
= a-0+b【2】-k
+b【3】-c【3】
+b【4】-c【4】
+……
+b【i-1】-c【i-1】
+b【 i 】-c【 i 】
题目中“下车人数等于上一站上车人数,一直到终点站的前一站(第n-1站)”,可知b【i】=c【i+1】。从而消除其中的一些项。
得:
sum【i】:=a-k+b【i】
而sum【n-1】:=a-k+b【n-1】=a-k+fa【n-1】* a+fb【n-1】 * k=m,
从而可以求出k:=(m-a-a*fa[n-1]) div (fb[n-1]-1)
那么答案sum【x】可求。
代码
var k,ans,i,a,n,m,x:longint;fa,fb:array[1..100000]of longint;
beginreadln(a,n,m,x);fa[1]:=1;fa[2]:=0;fa[3]:=1;fa[4]:=1;fb[1]:=0;fb[2]:=1;fb[3]:=1;fb[4]:=2;if n>=5 thenfor i:=5 to n dobeginfa[i]:=fa[i-1]+fa[i-2];fb[i]:=fb[i-1]+fb[i-2];end;k:=(m-a-a*fa[n-1])div(fb[n-1]-1);write(a-k+fa[x]*a+fb[x]*k);
end.评测结果 Result
测试点 #1:通过该测试点。 得分25,耗时0ms,内存3112kB。
测试点 #2:通过该测试点。 得分25,耗时0ms,内存3117kB。
测试点 #3:通过该测试点。 得分25,耗时0ms,内存3088kB。
测试点 #4:通过该测试点。 得分25,耗时0ms,内存3088kB。
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