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Manifold

在介绍Manifold（流形）之前，我们需要先了解欧几里得空间（Euclidean Space）。我们所熟知的所有基础物理、数学都是建立在欧几里得空间基础上的。在欧几里得空间的一个重要的概念就是，两点间最短的距离是一条直线。0维的欧几里得空间是一个点，1维的欧几里得空间是一条线，2维的欧几里得空间是一个平面，3维的欧几里得空间是我们所熟知的立体空间（仍然必须满足立体空间里两点间的最短距离是一条直线）。也因此，欧几里得空间也被称为Flat Space（“平直”空间）。

而欧几里得几何的局限性就是它不能包含两点间最短距离是曲线的情况。比如：球面上的两点间最短距离（不可以穿透球体）。因此，对于更加宏观的航海、天体物理等研究而言，通过传统的欧几里得空间来研究它们是不适合的。由此引入了黎曼几何，而黎曼几何研究的对象就是流形（Manifold）。

插播一下曲率这一概念。曲率是描述一个曲面（surface）偏移平面（plane）、一条曲线（curve）偏移直线（straight line）的程度。曲率越大，偏移程度越大。本文第一段提到的欧几里得几何的研究对象是“平直的”对象，其曲率为0。而黎曼几何的研究对象是“弯曲的”对象，其曲率大于0。那有没有研究曲率为负的对象的几何呢？有！罗氏几何。

我们继续说流形（Manifold）。流形是整体而言是“扭曲的”，然而其局部又类似于欧几里得空间。因此，我们可以利用欧几里得几何里已知的方法去研究流形的局部。然后再将这些局部信息拼接起来，以达到研究流形的目的。这是不是和微分的思想很像！直接计算一条曲线的长度比较难，那我们就将其切分成若干小段，每段近似于一条直线，这些直线的长度相加的总和就是这条曲线的长度。Amazing！！！常见的流形有直线、曲线（圆）、平面、曲面（圆环面、球面）等，但是注意不包含双纽线（因为交叉点附近与一维的欧几里得空间不同胚）。

两个拓扑空间 X X X与 Y Y Y之间的函数 f : X → Y f: X \rightarrow Y f:X→Y称为同胚，当且仅当

  • f f f是双射的（满足单射和满射）；
  • f f f是连续的；
  • f − 1 f^{-1} f−1也是连续的。

有没有注意到，流形包含了欧几里得空间。直线同时属于欧几里得空间和流形，然而，曲线只属于流形。

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