新课程《3.1 函数的概念及其表示》教学设计(2课时)

3.1.1 函数的概念

1.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;

2.用集合与对应的思想理解函数的概念;

3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;

4.会求函数的定义域。

1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；

2.教学难点：函数的概念及符号yf(x)的理解。

一、函数的概念：设A、B是 的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的

，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) x∈A．

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的 .

二、区间

定义

{x|axb}

{x|axb}

{x|axb}

名称

闭区间

开区间

半开半闭区间

半开半闭区间

符号

[a,b]

(a,b)

[a,b)

(a,b]

数轴表示

{x|axb}

{x|xa}

{x|xa}

{x|xb}

{x|xb}

三、函数的三要素： 、 、 。

四、判断函数相等的方法： 、 。

一、复习回顾，温故知新

1. 初中学习的函数的定义是什么？

1

2.回顾初中学过哪些函数？

二、探索新知

探究一 函数的概念

问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t。

1.思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？

问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？

2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？

问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？

2

问题4 国际上常用恩格尔系数r(r食物支出金额）

总支出金额反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？

3.思考：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？

4.函数的概念：设A、B是 的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) x∈A．

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的 .

5.对函数符号y=f(x)的理解：

（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。

例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1。

当x=2时y=7可以写成f(2)=7

想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？

6、思考：函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？

牛刀小试

1.对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( )

3

①y是x的函数

②对于不同的x,y的值也不同

③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量

④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域：

例1.

函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。

例如，正比例函数ykx(k0)可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。

试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。

探究二 区间的概念

设a，b是两个实数，而且a

4

函数 一次函数

a>0

二次函数

a<0

反比函数

对应关系 [Z|

yX|X|K]

定义域 [科

ZRR&X&X&K]

值域

⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]

⒉满足不等式a

⒊满足不等式a≤x

这里的实数a，b叫做相应区间的端点

实数集Ｒ可以用区间表示为(,)，把“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。

注意：

（1）.区间（a,b）,必须有b>a；

（2）.区间只能表示数集；

（3）.区间不能表示单元素集；

（4）.区间不能表示不连续的数集；

（5）.区间的左端点必须小于右端点；

（6）.区间都可以用数轴表示；

（7）.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.

牛刀小试

试用区间表示下列实数集合

（1） {x|5 ≤ x<6}

（2） {x|x ≥9}

（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}

5

定义 名称

闭区间

开区间

半开半闭区间

符号

[a,b]

(a,b)

[a,b)

数轴表示

{x|axb}

{x|axb}

{x|axb}

{x|axb}

半开半闭区间

(a,b]

{x|xa}

{x|xa}

{x|xb}

{x|xb}

1

x22(1)求函数的定义域.（2）求f(3),f()的值.

3例2 已知函数f(x)x3(3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.

探究三 函数相等

1.思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？

例3.下列函数哪个与函数y=x相等

(1)y(x)

2n2(2)uvv;(3)yx(4)m.

n332

1．下列图象中表示函数图象的是( )

6

2. 下列函数中，与函数y=x相等的是（ ）

A.y(x)2x,x0C.yx,x0B.yx2D.yx33

3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )

A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}

C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}

4．函数f(x)＝x－4＋1的定义域是________．

x－515．已知函数f(x)＝x＋，

x(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(－1)，f(2)的值；

(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．

这节课你的收获是什么？

参考答案：

一、1.设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.

2.（1）一次函数 （2）正比例函数 （3）反比例函数 （4）二次函数

二、探究一 1.不正确。对应关系应为S=350t，其中

7

tA1{t|0t0.5},sB1{s|0s175}

问题2 是函数，对应关系为w=350d,其中dA2{1,2,3,4,5,6},

wB2{350,700,1050,1400,1750,2100}。

2.不是。自变量的取值范围不一样。

问题3 是，t的变化范围是A3{t|0t24}，I的范围是B3{I|0I150}。

问题4 y的取值范围是A4{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}，

r的取值范围是B4{r|0r1}， 恩格尔系数r是年份y的函数。

3.共同特征有：

（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；

（2）都有一个对应关系；

（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。

5.想一想：一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。

6.函数的值域是集合B的子集。问题1和问题2中，值域就是集合B1和B2；问题3和问题4中，值域是B3和B4的真子集。

牛刀小试 B

例1 解：长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10-x).

其中，x的取值范围是A{x|0x10}，y的取值范围是B{y|0y25} ，对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10-x).

（3）（,1][5,2)[5,1] 牛刀小试 （1）[5,6) （2）[9,)

例2 解：（1）x3有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，1有意义的实数x的集合是{x|x≠-x22}，所以，这个函数的定义域就是{x|x3,且x2} .

(2)f(3)3311

32

f()23211133333

233838238

（3）因为a>0,所以f(a),f(a1)有意义。

1，

a211

f(a1)a13

a2a12a1

f(a)a3探究三 1.定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；定义域相同，对应关系完全一致.

（1）y(x)2x(x0),这个函数与yx(xR)对应关系一样，例3.解：定义域不同，所以和函数y=x不相等。

(2)u3v3v(vR)，这个函数与yx(xR)对应关系一样，定义域相同，所以和函数y=x相等。

x,x0，这个函数和yx(xR)定义域相同，但是当x<0时，它的对应关（3）yx2|x|x,x0系为yx，所以和yx(xR)不相等。

n2n的定义域是{n|n0}，（4）m这个函数与yx(xR)对应关系一样，但的定义不同，n所以和yx(xR)不相等。

达标检测

1.【解析】 根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选C.

【答案】 C

2.【解析】 函数y＝x的定义域为R；y＝(x)2的定义域为[0，＋∞)；y＝x2＝|x|，对应关系不同；x，x>03y＝对应关系不同；y＝x3＝x，且定义域为R.故选D.

－x，x<0，

【答案】 D

3.【解析】 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝

3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．

【答案】 A

4.【解析】 ∵函数f(x)＝x－4＋

1，

x－59

x－4≥0∴解得x≥4，且x≠5，

x－5≠0，

∴函数f(x)的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．

【答案】 [4,5)∪(5，＋∞)

5【解】 (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，

∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

115(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.

22－1(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1.

a＋13.1.2 函数的表示法

1.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（解析式法、图象法、列表法）表示函数；

2.了解简单的分段函数，并能简单地应用；

1.教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念；

2.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象。

一、函数的三种表示方法是： 、 、 。

解析式法： ，

列表法： ；

图象法： 。

一、探索新知

例1 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).

10

思考1：比较三种表示法，它们各自的特点是什么？

思考2：所有的函数都能用解析法表示吗？

例2.画出函数y=|x| 的图象.

分段函数的定义：我们把x,x0y|x|，x,x0这样的函数称为分段函数。

例3.给定函数f(x)x1,g(x)(x1)，xR.

（1）在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x) 的图象；

（2）xR, 用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者，记为M(x)max{f(x),g(x)}， 试分别用图象法和解析法表示函数M(x).

例4: 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.

211

对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

例5 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为

个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数 ①。

应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除 ②。

其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元。税率与速算扣除数见下表。

（1） 设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额为y，求yf(t) ，并画出图象。

（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

12

1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝( )

x

y

A．2 B．3 C．4 D．5

x＋2，x≥02.设f(x)＝则f[f(－1)]＝( )

1，x<0，0

2

5≤x<10

3

10≤x<15 15≤x≤20

4 5

A．3 B．1 C．0 D．－1

3．f(x)＝|x－1|的图象是( )

2x＋1x≤04．已知函数y＝使函数值为5的x的值是( )

－2xx>0，

5 A．－2 B．2或－

25C．2或－2 D．2或－2或－

2

x＋4，x≤05．已知函数f(x)＝x2－2x，04.(1)求f{f[f(5)]}的值；

(2)画出函数的图象．

这节课你的收获是什么？

13

参考答案：

例1 ：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.

用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈｛1,2,3,4,5｝。

用列表法可将y=f(x)表示为

用图象法可将y=f(x)表示为

思考1. 解析法：①函数关系清楚、精确；

②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质.

解析法是中学研究函数的主要表达方法.

图象法：能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础.

列表法：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用.

列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。

思考2 不是所有的函数都能用解析法表示.例如,某天24整点的整点数与这一刻的气温的关系.

例2 解: 由绝对值的概念,我们有x,x0。

y|x|x,x0所以，函数y=|x| 的图象如图所示。

笔记本数x

钱数y

1

5

2

10

3

15

4

20

5

25

14

例3.解：（1） 在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象，如图。

（2）解：由（1）中函数图象中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象，如图

结合函数的图象，可得函数M(x)的解析式为

(x1)2,x1M(x)x1,1x0

(x1)2,x0

例4 解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但是不容易看出每位同学的成绩的变化情况.可以将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图像表示出来，如图1，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况.

为了更容易的看出学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，如图2。

15

在图2中看到，王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且比较优秀.张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于平均水平，但是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的数学成绩在稳步提高.

例5 解：（1） 根据上表，可得函数yf(t)的解析式为

函数图象如图所示

（2）根据公式②，小王全年应缴纳所得额为

t=189600－60000－189600(8%+2%+1%+9%)－52800－4560

=0.8×189600－117360

=34320

将t的值代入③，得y=0.03×34320=1029.6

16

所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元。

达标检测

1.【解析】 由表可知f(11)＝4.

【答案】 C

x＋2，x≥02.【解析】 ∵f(x)＝∴f[f(－1)]＝f(1)＝1＋2＝3.故选A.

1，x<0，

【答案】 A

x－1，x≥1，3.【解析】 ∵f(x)＝|x－1|＝当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)1－x，x<1，

＝2，排除D.

【答案】 B

4.【解析】 由题意，当x≤0时，f(x)＝x2＋1＝5，得x＝±2，又x≤0，所以x＝－2；

5当x＞0时，f(x)＝－2x＝5，得x＝－，舍去．故选A.

2【答案】 A

5.【解】 (1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.

∵－3<0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1.

∵0<1<4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1，

即f{f[f(5)]}＝－1.

(2)图象如图所示．

17