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2023年12月24日发(作者:shellomala)

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对勾函数

对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图

一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+(接下来写作f(x)=ax+b/x)。

当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x

“叠加”而成的函数。这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。

当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y= b/x构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示:

a>0 b>0 a<0 b<0

对勾函数的图像(ab同号)

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当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。(请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。)

对勾函数的图像(ab异号)

一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。之后当a<0,b<0时,根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到:

当x>0时,。

当x<0时,。

即对勾函数的定点坐标:

(三) 对勾函数的定义域、值域

由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

y

(四) 对勾函数的单调性

(五) 对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到:

O

y=ax

X

(六) 对勾函数的奇偶性 :对勾函数在定义域内是奇函数,

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二、均值不等式(基本不等式)

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式,其实也是根据二次函数得来的。我们都知道,(a-b)^2≥0,展开就是a^2-2ab+b^2≥0,有a^2+b^2≥2ab,两边同时加上2ab,整理得到(a+b)^2≥4ab,同时开根号,就得到了均值定理的公式:a+b≥2sqrt(ab)。把ax+b/x套用这个公式,得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab),这里有个规定:当且仅当ax=b/x时取到最小值,解出x=sqrt(b/a),对应的f(x)=2sqrt(ab)。我们再来看看均值不等式,它也可以写成这样:(a+b)/2≥sqrt(ab),前式大家都知道,是求平均数的公式。那么后面的式子呢?也是平均数的公式,但不同的是,前面的称为算术平均数,而后面的则称为几何平均数,总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。

三、关于求函数yxx0最小值的解法

1. 均值不等式

x0,yx1x11。当x1的时2,当且仅当x,即x1的时候不等式取到“=”xx候,ymin2

2.

法

yx1x2yx10

x若y的最小值存在,则y240必需存在,即y2或y2(舍)

找到使y2时,存在相应的x即可。通过观察当x1的时候,ymin2

3. 单调性定义

xx1

1设0x1x2

fxfxxx11xxxx1121212x1x212x1x212x1x2当对于任意的x1,x2,只有x1,x20,1时,fxfx0,此时fx单调递增;

当对于任意的x1,x2,只有x1,x21,时,fxfx0,此时fx单调递减。

当x1取到最小值,yminf12

4. 复合函数的单调性

11

yxx212122xxtx1x在0,单调递增,yt22在,0单调递减;在0,单调递增

又x0,1t,0

x1,t0,

原函数在0,1上单调递减;在1,上单调递增

即当x1取到最小值,yminf12

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四、例题解析:

例1、已知函数 ,

练习:2.已知函数 ,求f(x)的最小值,并求此时的x值.

五、重点(窍门)

xx(1).x其实对勾函数的一般形式是:

1,2,求fx的值域.xf7(2).x2,4,求fx的最小值.(3).x7,3,求fx的值域.7f(x)=ax+b/x(a>0)

解:函数f(x)x在0,7,7,0递减x 在7,,,70)∪(0,+∞)

递增定义域为(-∞,(1).在x1,2是减函数 f(2)f(x)f1-2√ab]∪[2√ab,+∞)

1值域为(-∞, 即f(x)8 值域为 , 8(1)当x>0,有x=根号a,有最小值是2根号a

(2).分析知x272,4, f(x)的最小值为f(7)2(3).在xx=-3a是增函数 f(7)7,,有最大值是:-当x<0,有根号2根号a

f(x) f(x)在x2,4最小值为27f(3)对勾函数的解析式为f 即-8f(x)xx251616 x7,3值域为8, -33y=x+a/x(其中a>0),它的单调性讨论如下:

x24设x1

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下面分情况讨论

⑴当x10,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

⑵当-根号a0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数在(-根号a,0)上是减函数

⑶当00,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数在(0,根号a)上是减函数

⑷当根号a0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)

解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。

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<0,即f(x1)


本文标签: 函数 单调 均值 平均数 性质