正切函数图象

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正切函数

1.正切函数的图像

sin(x)sinx(1)根据tan(x+π)=cos(x)=cosx=tanx

(其中x≠kπ+2,k∈Z)推出正切函数的周期为π.

sinx(2)根据tanx=cosx,要使tanx有意义，必须cosx≠0,

从而正切函数的定义域为{x｜x≠kπ+2,k∈Z}

(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈(-2,2).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x∈(-2,2)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x≠kπ+2(k∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.

y=tanx

2.余切函数的图像如下：

y=cotx

3.正切函数、余切函数的性质：

正切函数y=tanx

余切函数y=cotx

.

.

定义域

{x｜x∈R且x≠kπ+2,k∈Z}

R

π

奇

{x｜x∈R且x≠kπ,k∈z}

值域

周期性

奇偶性

单调性

R

π

奇

每个区间(kπ,(k+1)π)上

递减(k∈Z).

每个区间(kπ-2,kπ+2)

上递增(k∈Z)

注：正切函数在每一个开区间(kπ-2,kπ+2)(k∈Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.

【重点难点解析】

本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作.因y=tanx定义域是{x｜x∈R,x≠kπ+2,k∈Z}，所以它的图像被平行线x=kπ+2(k∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.

1.正切函数应注意以下几点：

(1)正切函数y=tanx的定义域是{x｜x≠kπ+2,k∈Z},而不是R，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(kπ-2,kπ+2)(k∈Z)上是连续的；(3)在每一个区间(kπ-2,kπ+2)(k∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.

2.解正切不等式一般有以下两种方法：

图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.

例1 作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间.

分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y=｜tanx｜的图像.

解：由于y=｜tanx｜= tanx,x∈Z［kπ,kπ+2］

-tanx,x∈(kπ-2,kπ)(k∈Z)

所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+2)(k∈Z);单调减区间为(kπ-2,kπ］(k∈Z).

.

.

说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π.一般地，y=A｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为例2 求函数y=lg(tanx-3)+2cosx3的定义域.

解：欲使函数有意义，必须

tanx＞3,

2cosx+3≥0,

.

x≠kπ+2(k∈Z)

由此不等式组作图

∴函数的定义域为(kπ+3,kπ+2).

评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.

例3 求函数y=tan(2x-3)的单调区间.

解：y=tanx,x∈(-2+kπ,

2+kπ)(k∈Z)是增函数.

∴-2+kπ＜2x-3＜2+kπ,k∈Z.

k5k即-12+2＜x＜12+2，k∈Z

.

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k5k函数y=tan(2x-3)的单调递增区间是(-12+2,12+

2).(k∈Z)

例4 求函数f(x)=tan(2x+3)的周期.

解：因为tan(2x+3+π)=tan(2x+3)

即tan［2(x+2)+3］=tan(2x+3)

∴tan(2x+3)的周期是2.

例5 求函数y=3tan(2x+3)的对称中心的坐标.

k分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2,0)(k∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x轴交点.

k解：由2x+3=

2,(k∈Z)得

kx=4-6(k∈Z)

k∴对称中心坐标为(4-6,0)(k∈Z)

注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究.

【难题巧解点拔】

例 判断函数f(x)=tan(x-4)+tan(x+4)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.

分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.

解：此函数的定义域为{x｜x∈R且x≠kπ+4,k∈Z}它是关于原点对称.

又f(-x) =tan(-x+4)+tan(-x-4)

=-tan(x-4)-tan(x+4)=-f(x)

故此函数是奇函数.

y=tan(x-4)+tan(x+4)

.

.

=tan［(x-4)+(x+4)］［1-tan(x-4)tan(x+4)］

=tan2x［1+cot(x+4)tan(x+4)］=2tan2x

∵sin(2-a)=cosa

cos(2-a)=sina

∴tan(2-a)=cota

cot(2-a)=tana

故tan［2-(x+4)］=cot(x+4)

即-tan(x-4)=cot(x+4)

周期为2

当kπ-2＜2x＜kπ+2

kxk2-4＜x＜2+4(k∈Z)

kk即x∈(2-4,2+

4)时，原函数是增函数.

评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.

. y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的周期为T=

lg[例2 已知分析：从已知条件的不等式中解出cotx的范围，然后在此条件下求被求函数的值域.

119cos(x)]26≤1,求函数y=cot2x-2cotx+5的值域.

11解：由已知条件，可得0≤lg［2-9cos(x+6)］≤1.

11得-2≤cos(x+6)≤2

2∴kπ+3≤x+6≤kπ+3,k∈Z.

∴kπ+6≤x≤kπ+2,k∈Z.

22∴0≤cotx≤3 y=cotx-2cotx+5=(cotx-1)+4

.

.

∴当x=kπ+4,k∈Z时，y取最小值4.

当x=kπ+2,k∈Z时，y取最大值5.

从而函数y=cotx-2cotx+5的值域是［4,5］.

【典型热点考题】

例1 满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是( )

2A.(0，4) B.［0，4］ C.［4，2］ D.(4，2)

分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.

解：由选择项，可以考虑α∈(0，2)的性况.

∵tanα≥tan(2-α),且α,

2-α∈(0,

2)

∴α≥2-α,∴4≤α＜2.

故选C.

1tan22x2例2 函数y=1tan2x的最小正周期是( )

A.

4 B.

2 C.π D.2π

解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B正确.

∴应选B.

1tan22x2解法2：y=1tan2x=cos4x

2∴T=4=2

∴应选B.

2log1x例3 函数y=解：x应满足

2+tanx的定义域是 .

2+logx≥0 ①

x＞0 ②

tanx≥0 ③

12x≠kπ+2,k∈Z ④

由①②得0＜x≤4 ⑤

由③④并注意到⑤得 0＜x≤4

30≤x＜2或π≤x＜2

.

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∴0＜x＜2或π≤x≤4.

∴应填(0，2)∪[π，4]

例4 如果α、β∈(2,π),且tanα＜cotβ,那么必有( )

33A.α＜β B.β＜α C.α+β＜2 D.α+β＞2

解：∵tanα＜cotβ＜0，∴tanαtanβ＞1.

tantan有tan(α+β)=1tantan＞0

33有α+β∈(π，2)∴α+β＜2.

∴应选C.

2说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取α=β=3,可排除A、B、D.

【同步达纲练习】

一、选择题

1.下列不等关系中，正确的是( )

3＞cot4＞cot5 4＞cot3＞cot5

4＞cot5＞cot3 5＞cot4＞cot3

2.下列不等式中，正确的是( )

7π＞tan7π

4＜cot3 281°＜cot665°

3.观察正切曲线，满足条件｜tanx｜≤1的x的取值范围是(其中k∈Z) ( )

(-4π)＞tan(-5π)

A.(2kπ-4,2kπ+4)

C.(kπ-4,kπ+4)

B.(kπ,kπ+4)

3D.(kπ+4,kπ+4)

4.函数y=tanx-cotx的奇偶性是( )

A.奇函数 B.偶函数

C.既是奇函数，也是偶函数 D.非奇非偶函数

5.如果4＜θ＜2，则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是( )

θ＜cosθ＜tanθ

θ＜sinθ＜cosθ

.

θ＜sinθ＜tanθ

θ＜tanθ＜sinθ

.

6.y=tanx+cotx的最小正周期是( )

A.π

B.

2

C.

4 D.以上均不正确

7.将函数y=tan2x的图像向右平移4个单位后得到的图像的解析式为( )

A.y=tan(2x+4) B.y=tan(2x-4)

C.y=cot2x

D.y=-cot2x

8.若tan(2x-3)≤1,则x的取值范围是( )

kk7A.

2 -12≤x≤2+24(k∈Z)

kk7B.

2-12＜x≤2+24(k∈Z)

7C.kπ-12≤x＜kπ+24(k∈Z)

7D.kπ-12＜x＜kπ+24(k∈Z)

9.函数f(x)=

1cotxcotx

的定义域为( )

A.(kπ,kπ+2),k∈Z

B.(kπ-2,kπ),k∈Z

D.以上均不正确 C.(kπ,kπ+π),k∈Z

10.下列命题中正确的是( )

A.y=tanx在第一象限单调递增.

C.当x＞0时，tanx＞0.

B.在y=cotx中，x越大，y反而越小

D.以上均不正确.

111.函数y=tan(2x-3)在一个周期内的图像是( )

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cos2xsin2x12.函数f(x)=cos2xsin2x的最小正周期是( )

A.4π B.2π C.π

二、填空题

1.使函数y=tanx和y=cosx同时为单调递增函数的区间是 .

2.满足tanα＜cotα的角α的范围是 .

D.

2

13.函数y=3tan(2x-4)的定义域是 ，值域是 .

4.函数y=sinx+cotx的图像关于 对称.

三、解答题：

1.求下列函数的定义域：

2cosx1lg(tanx1)(1)y=12sinx

tan(x)3 (2)y=3cot (3)y=x2

sec2tan22.求函数y=sectan的值域.

3.求函数y=-2tan(3x+3)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.

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14.已知f(x)=tan(2x-bπ)的图像的一个对称中心为(3，0)，若｜b｜＜3，求b的值.

【素质优化训练】

21.解不等式3tan(2x-4)-(3-3)tan(2x-4)-3≤0.

2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域内任何实数x，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比较tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小.

3.已知有两个函数f1(x)=asin(kx+3),f2(x)=bsin(kx-3)(k＞0)它们的最小正周期之和为2π，且f1(2)=f2(2),f1(4)=-3f2(4)+1,求a、b、k之值.

24.已知关于x的一元二次方程4x+5x+k=0的两根分别为sinθ、cosθ,(1)求k.(2)求以tanθ、cotθ为两根的一元二次方程.

5.求证：函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).

答案：

【同步达纲练习】

一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D

二、1.［2kπ-π,2kπ-2)和(2kπ-2,2kπ](k∈Z)

32.(kπ,kπ+4)∪(kπ+2,kπ+4)(k∈Z)

33.{x｜x≠2kπ+2,k∈Z}

4.(kπ,0)(k∈Z)

3三、1.(1)(2kπ-4π,2kπ-2)(k∈Z)

(2){x｜2kπ-3≤x＜2kπ+3,且x≠2kπ-6,k∈Z}

(3){x｜2kπ+3≤x＜2kπ+2π,k∈Z}

12.

3≤y≤3

k3.定义域{x｜x≠3+18,k∈Z}

值域R，周期3，非奇非偶函数

k5k在区间(3-18,3+18)(k∈Z)上是单调减函数.

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14.b=-3

【素质优化训练】

kk1.{k｜2+24≤x≤2+4,k∈Z}

2.相等

3.a=-3-1,b=3+1,k=2

93224.(1)k=8 (2)x-9x+1=0

5.略

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