函数值域的求法大全

函数值域的求法大全

值域为R（注意判别式）；

对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域为R+，值域为R；

指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域为R，值域为(0,+∞)；

三角函数y=sin x，y=cos x的值域均为[-1,1]；

反三角函数y=arcsin x的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]；

y=arccos x的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]；

y=arctan x的定义域为R，值域为(-π/2,π/2)。

利用函数的单调性来求值域

对于单调递增函数f(x)，其值域为[f(a),f(b)]；

对于单调递减函数f(x)，其值域为[f(b),f(a)]。

利用反函数来求值域

设函数f(x)的反函数为g(x)，则f(x)的值域等于g(x)的定义域，即f(x)的值域为{x|g(x)∈R}。

利用配方法来求值域

对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数，可通过配方法将其化为y=a(x+p)2+q的形式，其中a>0，(p,q)为顶点坐标，此时，y的值域为[q,+∞)或(−∞,q]。

利用不等式来求值域

对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数，可通过求解不等式ax2+bx+c≥0来确定其值域。

以上是常见的求值域的方法，不同的函数类型可能需要不同的方法来求值域。在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，结合图像、单调性、反函数等性质进行分析，才能得出正确的结果。

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求函数值域是数学中常见的问题。下面介绍两种常用的方法：单调性法和换元法。

单调性法是指利用函数的单调性来确定函数的值域。具体来说，可以先找到函数在给定区间内的单调区间，然后比较区

间两端点的函数值，从而确定函数的最大值或最小值。当顶点横坐标是字母时，需要根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。需要注意的是，如果给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值。

换元法是指将一个复杂的函数转化为一个简单的函数，从而求出其最值，再根据函数之间的关系确定原函数的值域。例如，可以将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种方法的应用十分广泛。

练：1、求函数$y=3+2-3x$的值域。由算术平方根的性质，知$2-3xgeq 0$，故$3+2-3xgeq 3$。因此，函数的值域为$[3,+infty)$。

2、求函数$y=x-2x^2+5$，$xin[0,5]$的值域。首先求出函数的对称轴为$x=1$，因此可以根据单调性法求出函数在区间$[0,1]$和$[1,5]$上的单调性。然后比较区间两端点的函数值，得到最小值为$4$，最大值为$20$。因此，函数的值域为$[4,20]$。

3、求函数$y=4x-1-3x$，$xleq frac{1}{3}$的值域。将函数拆分为$f(x)=4x$和$g(x)=-1-3x$，易知它们在定义域内为增函数。因此，$y=f(x)+g(x)$在定义域$xleq frac{1}{3}$上也为增函数，且$yleq f(frac{1}{3})+g(frac{1}{3})=frac{4}{3}$。因此，所求的函数值域为${y|yleq frac{4}{3}}$。

4、求函数$y=3+4-x$的值域。显然，函数的最小值为$3$，因此函数的值域为${y|ygeq 3}$。

5、求$frac{1+sin xcos x}{sin x+cos x}$的值域。将分子和分母都除以$cos x$，得到$frac{1+tan x}{tan x+1/cos x}$。令$t=tan x$，则原式变为$frac{1+t}{t+1/sqrt{1+t^2}}$。对分母进行有理化，得到$frac{1+t}{sqrt{1+t^2}+1}$。因此，原函数的值域为$[0,1]$。

6、求函数$y=x+1-x^2$的值域。将$x=cos theta$代入原式，得到$y=cos theta + sin theta=sqrt{2}sin (theta + pi/4)$。因此，原函数的值域为$[-sqrt{2},sqrt{2}]$。

本文介绍了几种常见的求函数值域的方法，包括基本不等式、换元法、平方法、分离常数法等。对于特定形式的函数，如含有三角函数的函数、含有分式的函数等，可以采用特殊的方法来求值域。文章中给出了具体的例子，并对每种方法进行了详细的说明和分析。

首先介绍的是基本不等式法，即利用基本不等式来限制函数值域的范围。例如，对于函数y=x^2-2x+3，可以通过将其写成y=(x-1)^2+2的形式，得到y的最小值为2，即y>=2，从而确定函数的值域为[2,+∞)。

其次是换元法，即通过将自变量进行变换，将函数转化为一个更容易求值域的形式。例如，对于函数y=9-3t^2+2，可以令t=√x，得到y=14-x-3x^2，然后通过求导可知x=1/3时y取得最大值，即y的值域为[2,14]。

另外还介绍了平方法、分离常数法等方法，以及对于特定形式的函数如含有三角函数或分式的函数，可以采用特殊的方法来求值域。例如，对于含有三角函数的函数，可以根据题目

中的条件，将自变量写成cosθ或sinθ的形式，然后通过求导等方法来确定函数的值域。

最后，文章给出了几个例子，对每种方法进行了具体的说明和分析，帮助读者更好地理解和掌握这些方法。

例10：求函数$y=2^x$在$(xleqslant 1)$的值域。

解法一：由指数函数的单调性可知，原函数的值域为$(0,+infty)$。

解法二：（图象法）如图，值域为$(0,1]$。

解法三：（换元法）设$3+2^x=t$，则$x=log_2(t-3)$，代入原函数得$y=frac{2^{log_2(t-3)}}{t}=frac{t-3}{t}$。因为$t>3$，所以$0

例13：求函数$y=frac{2}{x+1}$的值域。

解法一：（逆求法）令$y_0=frac{2}{x+1}$，解得$x=frac{2}{y_0}-1$。因为$xinmathbb{R}$，所以$y_0neq

0$，即值域为$(-infty,-2]cup (0,+infty)$。

解法二：（换元法）设$x+1=t$，则$y=frac{2}{t}$。因为$t>0$，所以$0

解法三：（判别式法）原函数可化为$2y(x+1)=2$，当$y=0$时不成立，当$yneq 0$时，$Deltageqslant 0$，解得$-frac{2}{3}leqslant y<0$或$0

综合以上三种方法，可得值域为$(-infty,-2]cup (0,2]$。

例15：求函数$y=frac{x+1}{x^2}$的值域。

解法一：（判别式法）原式可化为$(x+1)y=x$，当$xleqslant 0$时，$x+1leqslant 0$，所以$ygeqslant 0$；当$x>0$时，$Deltageqslant 0$，解得$yleqslant -1$或$ygeqslant

3$。综合以上两种情况，值域为$(-infty,-1]cup [3,+infty)$。

解法二：（不等式法）当$x>0$时，$frac{x+1}{x^2}=frac{1}{x}+frac{1}{x^2}>0$，当$xleqslant

0$时，$frac{x+1}{x^2}leqslant 0$。因此，值域为$(-infty,-1]cup (0,+infty)$。但是，要注意到$x=0$时函数无定义，因此要去掉$0$点处的值，即值域为$(-infty,-1]cup (0,+infty)-{0}$。

例16：求函数$y=frac{x^2+2x+2}{x+1}$在$(x>-1)$的值域。

解法一：（判别式法）原式可化为$(2-y)x^2+(2-y)x+(2-y)=0$，当$2-y=0$时，不成立；当$2-yneq 0$时，$Deltageqslant 0$，解得$yleqslant -2$或$ygeqslant 2$。因为$x>-1$，所以值域为$(-infty,-2]cup [2,+infty)$。

解法二：（不等式法）当$x>-1$时，$frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+frac{1}{x+1}>0$，因此，值域为$(0,+infty)$。但是，要注意到$x=-1$时函数无定义，因此要去掉$x=-1$处的值，即值域为$(0,+infty)-{y|ytext{使

得}y=frac{x^2+2x+2}{x+1}text{在}x=-1text{处无定义}}=(0,+infty)-{-1}= (0,+infty) $。

在222时，方程（＊）的二次项系数为2y-1，不能用“Δ”来判定其根的存在情况。我们可以将原式变形为(2y-1)x²+(2y-1)x+(3y-1)=(＊)²：

1）当y=1/2时，方程（＊）无解；

2）当y≠1/2且2≤y<3/1时，由于x∈R，所以Δ=(2y-1)²-4(2y-1)(3y-1)≥0，解得x的取值范围为[-√(2102)/31,√(2102)/31]。

综合（1）、（2）可得此函数的值域为[-√(2102)/31,√(2102)/31]。

注意函数式变形中自变量的取值范围的变化。例如，对于函数y=x²+4x+3/(x+x-6)，我们不能简单地将其化简为(y-1)x+(y-4)x-(6y+3)=(0)：

1）当y=1时，代入上式得-3x-9=0，因此x=-3，故y=1属于值域；

2）当y≠1时，Δ=(5y-2)≥0。

综合（1）、（2）可得函数的值域为y∈R-{1}。

注意变形后函数值域的变化。例如，对于函数y=x+1-x²，我们不能简单地从y-x=1-x²得到(y-x)²=1-x。由函数的定义域为[-1,1]可知y≥x≥-1，因此函数的最小值不可能为-2.实际上，函数的值域应为[-1,2]。

注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性。例如，对于函数y=(x²+4)/(2x+5)，我们不能简单地令t=x²+4，得到y=t/(2x+5)。因为t≥4，所以新变量t的取值范围应该为[4,∞)。因此，我们可以设f(t)=yt-t+y，y>1/5，t∈[4,∞)，求出f(t)的最小值和最大值，从而得到函数的值域。

在使用判别式法求函数的值域时，由于变形过程中可能会出现不可逆的步骤，从而改变函数的定义域或值域。因此，在使用判别式法求函数值域时，必须确保变形过程是等价的，必须考虑原函数的定义域和判别式的前提条件，并注意检查区间端点是否符合要求。

练：

1、给定函数y=x^2+1/(2x)+9(x≠0)，解：因为x≠0，所以y=x^2+11/(2x)，即y≥11/x^2+9.另外，可以利用基本不等式解

决：y=x^2+1/(2x)+9≥2√(x^2(1/(2x))+9)=2√(9+1/x^2)≥2√(9)=6，所以0

2、给定函数y=22x-4x^2+3，求其值域。解：① y=x+2-x，令u=2-x≥0，则x=2-u，原式可化为y=2-u+u=2-(u-1)^2/4，因为u≥1/2，所以y≤9/4，即值域为(-∞，9/4]；②令t=4x-x^2，则在区间[0,4]上，函数的最大值为4，最小值为0，因此值域为{y|0≤y≤2}。

4、给定函数y=|x+1|+|x-2|，求其值域。解：因为函数表示数轴上的动点x到两个定点-1和2的距离之和，所以最小值为3，即值域为[3,+∞)。

5、给定函数y=2x+4/(1-x)，求其值域。解：设t=1-x，则t≥0，代入得y=f(t)=2(1-t^2)+4t=-2t^2+4t+2=-2(t-1)^2+4，因为t≤1，所以y≤4.

6、给定函数y=(x^2-5x+6)/(x+x-6)，求其值域。方法一：去分母得(y-1)x+(y+5)x-6y-6=0，当y≠1时，因为x∈R，所以△=(y+5)+4(y-1)×6(y+1)≥0，由此得5y+1≥0，即y≥-1/5.再检验

y=-1/5时，代入原式求得x=-2/5，因此y≠-1/5.再检验y=1时，代入原式求得x=2，因此y≠1.综上所述，函数的值域为{y|y≠1且y≠-1/5}。

y=cos2β+sinβ=1-sin2β+sinβ=1-sinβ(1-sinβ)=(1/4)(4-sinβ)(4+sinβ)+1/4

因为-1≤sinβ≤1，所以4-sinβ≥3，4+sinβ≥5，因此(1/4)(4-sinβ)(4+sinβ)≥3/4

所以y≥3/4+1/4=1，即y的最小值为1.

当sinβ=-1时，y=-2；

当sinβ=1时，y=17/16.

因此，y的取值范围为[-2,17/16]。

注：此题先用三角恒等式将y化简，然后用sinβ的有界性确定y的最大值和最小值，最后得出y的取值范围。在解决函数取值范围问题时，要根据具体情况选择合适的方法，如三角恒等式、有界性、单调性、基本不等式等，以便更快、更准确地得出结论。