高中数学:求函数值域的方法十三种

高中数学：求函数值域的十三种方法

一、观察法（☆ ）

二、配方法（☆）

三、分离常数法（☆）

四、反函数法（☆）

五、判别式法（☆）

六、换元法（☆☆☆）

七、函数有界性

八、函数单调性法（☆）

九、图像法（数型结合法）（☆）

十、基本不等式法

十一、利用向量不等式

十二、一一映射法

十三、 多种方法综合运用

一、观察法：从自变量x的范围出发，推出yf(x)的取值范围。

【例1】求函数yx1的值域。

【解析】∵x0，∴x11， ∴函数yx1的值域为[1,)。

y1x的值域。 【例2】求函数10(,0)(0,)

x0x【解析】∵

∴

显然函数的值域是：【例3】已知函数yx11，x1,0,1,2，求函数的值域。

2【解析】因为x1,0,1,2，而f1f33，f0f20，f11所以：y1,0,3

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为xR，则函数的值域为y|y1。

二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x)af2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】 求函数yx2x5,x[1,2]的值域。

【解析】将函数配方得：时，【变式】已知∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当2 故函数的值域是：[4，8]

，求函数的最值。

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【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2

【例2】 若函数f(x)x2x2,当x[t,t1]时的最小值为g(t)，（1）求函数g(t)

（2）当t[-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法）

【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

2图2

图1

①如图1所示，若顶点横坐标在区间。

②如图2所示，若顶点横坐标在区间值。

右侧时，有，即。当上时，有，即左侧时，有，此时，当图3

时，函数取得最小值。当时，函数取得最小③如图3所示，若顶点横坐标在区间

时，函数取得最小值综上讨论，g(t)=f(x)min(t1)21,t11,0t1

t21t0

t(,0]时，g(t)t1为减函数

2t21(t0)(2)g(t)1(0t1)

t22t2(t1) 在[3,2]上，g(t)t1也为减函数

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2



2g(t)ming(2)5，

g(t)maxg(3)10

【例3】 已知f(x)x2x2，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值．

【解析】由已知可求对称轴为x1．

f(x)minf(t)tt21t3，f(x)maxf(t1)t22（1）当时，．

（2）当t≤1≤t1，即0≤t≤1时，．

根据对称性，若tt11即220≤t≤12f(x)f(t)t2t3max2时，．

tt111t≤1f(x)maxf(t1)t22222若即时，．

f(x)maxf(t)t22t3t11t0（3）当即时，．

综上，f(x)max12t2,t2

1t22t3,t2观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

b1f(m)，(mn)(如图1)2a2时f(x)maxf(x)minb1f(n)，(mn)(如图2)2a2当bf(n)，n(如图3)2abbf()，mn(如图4)

2a2abf(m)，m(如图5)2a

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当bf(n)，n(如图6)b12af(m)，(mn)(如图9)2a2bbf(x)时f(x)max

minf()，mn(如图7)b12a2af(n)，(mn)(如图10)b2a2f(m)，m(如图8)2a

【例4】 (1) 求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。

【解析】(1)二次函数的对称轴方程为xa，

当a2

11即a时，f(x)maxf(2)4a5；

2211即a时，f(x)maxf(1)2a2。 综上所述：f(x)max2212a2,a2。

14a5,a2 当aa2a2aaaa(2)函数y(x)图象的对称轴方程为x，应分11，1，1即2a2，a2242222和a2这三种情形讨论，下列三图分别为

（1）a2；由图可知f(x)maxf(1)

（2）2a2；由图可知f(x)maxf()

（3）

a2时；由图可知f(x)maxf(1)

a2

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y最大(a1),a2f(1),a22aaf(),2a2；即y最大,2a2

24f(1),a2a1,a22【例5】 已知二次函数f(x)ax(2a1)x1在区间3,2上的最大值为3，求实数a的值。

2【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a0与a0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：

（1）令f(2a11)3，得a

2a213,2，故不合题意；

22此时抛物线开口向下，对称轴方程为x2，且2（2）令f(2)3，得a1

2此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a（3）若f(1符合题意；

232)3，得a

232符合题意。

3此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a综上，a12或a

23解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。

【变式】 已知函数f(x)ax2ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

【解析】f(x)a(x1)1a,x[3,2]

（1）若a0,f(x)1,，不符合题意。

（2）若a0,则f(x)maxf(2)8a1

223

8（3）若a0时，则f(x)maxf(1)1a

由1a4，得a3

3综上知a或a3

8x2x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。 【例6】 已知函数f(x)2mn,n的位置关系。 【解法1】讨论对称轴中1与m,2由8a14，得a第 5 页 共 23 页

①若解得，则

f(x)maxf(n)3n

f(x)minf(m)3mf(x)maxf(1)3nmn②若，无解

1n，则f(x)f(m)3m2min③若m1④若f(x)maxf(1)3nmn，则，无解

f(x)f(n)3m2min，则f(x)maxf(m)3n，无解

f(x)minf(n)3m综上，m4,n0

11112【解法2】由f(x)(x1)，知3n,n,，则[m,n](,1]，

2226f(x)maxf(n)3n又∵在[m,n]上当x增大时f(x)也增大所以 解得m4,n0

f(x)f(m)3mmin评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

【例7】 求函数yx35x的值域.

22yx35x2(x3)(5x)221(x4)【解法1】

22y221(x4)[2,4] 显然故函数的值域是：【解法2y[2,2]

】显然3≤x≤5,x32sin2([0,])5x2cos22,

yx35x2(sincos)2sin()[2,2]

4

三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为ykf(x)(k为常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。

【例1】 求函数yx2的值域

x11，容易观察知x≠-1,y≠1，得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +x1【解析】利用恒等变形，得到：y1∞)。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。

x2x【例2】 求函数y2的值域。

xx1第 6 页 共 23 页

【解析】观察分子、分母中均含有x2x项，可利用部分分式法；则有1231x2xx2x111f(x)(x),g(x)(f(x)0)从而y21不妨令：21324f(x)xx1xx1(x)224331f(x), 注意：在本题中应排除f(x)0，因为f(x)作为分母。所以g(x)0,故y,1

434【变式】求下列函数的值域：

(1)

yx13x2x21 (2)

y2.

x11答案：（１）值域y(,13)(3,) （２）值域y ∈[-1,1]

四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

12x【例1】求函数y的值域。

12x1y1y12xxx20，

20【解析】由y解得， ∵，∴1y1y12x12x∴1y1 ∴函数y的值域为y(1,1)。

12x【例2】求函数y3x4值域。

5x6【解析】由原函数式可得：故所求函数的值域为：(,)则其反函数为：，其定义域为：

353(,)

5ex1【例3】 求函数yx的值域。

e1ex1解答：先证明yx有反函数，为此，设x1x2且x1,x2R，

e1第 7 页 共 23 页

ex11ex21ex1ex2y1y2x12x10。

e1ex21(e1)(ex21)所以y为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：y值域为y(1,1)。

【例4】

求函数y1xln11x。此函数的定义域为x(1,1)，故原函数的abx(a0,b0,ab,x[1,1])的值域。

abx2a2a2a

ababxab

【解法1】-1≤x≤1 a-b≤a-bx≤a+b

2a2a2aabab，1y11yababxababab【解法2】（反函数法）：xa2aa2aabab1，,由-1≤x≤1得：1xybb(y1)bb(y1)abab

五、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)0；通过方程有实数根，判别式0，从a1x2b1xc1而求得原函数的值域，形如y（a1、a2不同时为零）的函数的值域，常用此方法求2a2xb2xc2解。（解析式中含有分式和根式。）

1xx2 【例1】求函数y的值域。

21x【解析】原函数化为关于x的一元二次方程,由于x取一切实数，故有

（1）当时， 解得：

（2）当y=1时，，而

故函数的值域为

【例2】求函数yxx(2x)的值域。

【解析】两边平方整理得：∵ ∴ 解得：（1）

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但此时的函数的定义域由，得

在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为由，仅保证关于x的方程：上，即不能确保方程（1）有实根，由

。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵

代入方程（1） 解得：

即当时， 原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

解法二：yxx(2x)x1(x1)2，令x1sin[,]

22y1sincos12sin(4)

443

42sin()1

24 原函数的值域为：2x2axb【例3】 已知函数f(x)的值域为[1，3]，求a,b的值。

x212x2axb(y2)x2axyb0a24(y2)(yb)0 【解析】y2x14y24(2b)y8ba20。

2x2axb由于f(x)的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}

2x1第 9 页 共 23 页

y1y22b13a22

8bab23y1y24【例4】求函数yx1x22x2的值域。

2【解法1】先将此函数化成隐函数的形式得：yx(2y1)x2y10，(1)

这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式1(2y1)24y(2y1)0，解得：12y2。

1故原函数的值域为：y[12,2]。

【解法2】当x≠-1时

yx1x2x2211(x1)x1

由于 当x+1< 0时，(x1)12 ，即y[12,0)

x1当x+1＞ 0时，(x1)12，即y(0,12]

x11考虑到x=-1时y=0 故原函数的值域为：y[12,2]

【例5】已知函数ymxn的最大值为4，最小值为 —1 ，则m= ，n=

x21【解析】ymxnyx2mxny0m24y(yn)0

2x14y24nym20………………○1。

2x2axb由于f(x)的值域为[－1，4]，故不等式○1的解集为{y|－1≤y≤4}

2x1y1y2n3m42

mm34y1y24m4

n3

【例6】求函数y2x2的值域。

x22x3【解析】yx(y1)x3y20

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○1y=0得x=-2,从而y=0是值域中的一个点；

2○2y0(y1)4y(3y2)0

16y24y1)01○2得函数的值域为R.

yR， 由○y480六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且a0）的函数常用此法求解。

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

【例1】求函数y2x12x的值域。

1t2【解析】令t12x（t0），则x，

215135∴yt2t1(t)2∵当t，即x时，ymax，无最小值。

242845∴函数y2x12x的值域为(,]。

4【例2】求函数y2x5log3x1(2x10)的值域。

,y2log3x1

则y1,y2在[2，10]上都是增函数

【解析】令y12x5所以yy1y2在[2，10]上是增函数

当x=2时，ymin23log32118

5当x=10时，ymax2log3933

18,33 故所求函数的值域为：【例3】求函数yx1x1的值域。

y2x1x1

【解析】原函数可化为：令y1x1,y2x1，显然y1,y2在[1,]上为无上界的增函数

所以yy1，y2在[1,]上也为无上界的增函数

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2所以当x=1时，yy1y2有最小值2，原函数有最大值2显然y0，故原函数的值域为(0,2]

2【例4】求函数yx21(x1)的值域。

2

22【解析】因1(x1)0

即(x1)1

故可令x1cos,[0,]

2ycos11cossincos1 ∴2sin()14

∵0,0544

2sin()12402sin()1124

故所求函数的值域为[0,12]

x3xy4x2x21的值域。

【例5】求函数12x1x2y221x1x2

【解析】原函数可变形为：2x1x22sin2,cos22xtg1x1x可令，则有

11ysin2cos2sin424

当k1ymax4

28时，k1ymin28时，4 当而此时tan有意义。

114,4 故所求函数的值域为第 12 页 共 23 页

x,122的值域。

【例6】求函数y(sinx1)(cosx1)，【解析】y(sinx1)(cosx1)

sinxcosxsinxcosx1

1sinxcosx(t21)2令sinxcosxt，则

11y(t21)t1(t1)222

2x,t2tsinxcosx2sin(x/4)1222由

且

可得：∴当t2时，ymax32322ty2时，42

2，当323,2422。 故所求函数的值域为2【例7】 求函数yx45x的值域。

2【解析】由5x0，可得|x|5

故可令x5cos,[0,]

y5cos45sin10sin()44

544 ∵0

4当/4时，ymax410

当时，ymin45

故所求函数的值域为：[45,410]

【例8】求函数y(x25x12)(x25x4)21的值域。

959【解析】令tx25x4x，则t。

424ytt821t28t21t45，

22第 13 页 共 23 页

1919当t时，ymin458，值域为y|y8

1641642【例9】求函数yx21x的值域。

【解析】令t1x，则x1t2，t0，y1t22tt12

22当t0时，tmax10201

所以值域为(,1]。

【例10】．求函数yx10xx223的值域。

【解析】由yx10xx223=x2x5，

2令x52cos，

22因为2x5022cos01cos1，[0,]，

则2x5=2sin，

2于是：y52sin2cos52sin5，[,]，

44442sin1，所以：52y7。

24七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

x21 【例1】

求函数y2的值域。

x1【解析】由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得

(y1)x2(y1)， ∵y1，∴x2y1（xR，y1），

y1y1x210，∴1y1， ∴函数y2∴的值域为{y|1y1}

x1y1ex1yxe1的值域。 【例2】求函数第 14 页 共 23 页

ex【解析】由原函数式可得：y1y1

y10xy11y1

故所求函数的值域为(1,1) ∵e0

∴

解得：【例3】求函数ycosxsinx3的值域。

2y1sinx(x)3y

ysinxcosx3y【解析】由原函数式可得：，可化为：sinx(x)即3yy21

13yy121

解得：∵xR

∴sinx(x)[1,1]

即22y44

22,44 故函数的值域为

【例4】

y3sinx

42cosx【解法1】sin(x)34y14y2，sin(x)34y14y21，

解得13333y1,1] 即函数值域为：y[13333【解法2】y看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率．即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线，其斜率取值x23sinxy21y42cosx聚会取值范围．设y=k(x-4)+3 代入椭圆方程4范围就是

222(4k1)x8(34k)kx4(16k24k8)0，由Δ＝0得答案． 得【例5】 已知a>0，x1,x2是方程ax+bx-a=0的二个实根，并且|x1|+|x2|=2,求 a的取值范围以及b的最大值 。

22【解析】由韦达定理知：xx=-a<0,故两根必一正一负，

｜x|+|x|=2

1212从而|x1-x2|=2

由韦达定理知：4=|x1-x2|2=(b2+4a3)/a2

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从而4a2-4a3=b2≥0

即4a2(1-a) ≥ 0

即a≤1,注意到a>0，从而a的取值范围是0< a≤1

从而

b24a2(1a)2aa(22a)2(即b的最大值为aa22a316

)32743，当且仅当a=2/3时“＝”成立。

9八、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

【例1】求函数yx12x的值域。

【解析】∵当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，

1∴函数yx12x在定义域(,]上是增函数。

2∴y

111112，∴函数yx12x的值域为(,]。

2222【例2】求函数yx1在区间x0,上的值域。

x【解析】任取x1,x20,，且x1x2，则

fx1fx2x1x2x1x21x1x2，因为0x1x2，所以：x1x20,x1x20，

当1x1x2时，x1x210，则fx1fx2；

当0x1x21时，x1x210，则fx1fx2；而当x1时，ymin2

于是：函数yx1在区间x0,上的值域为[2,)。

x构造相关函数，利用函数的单调性求值域。

【例4】求函数fx1x1x的值域。

【解析】因为1x01x1，而1x与1x在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数1x0gx1x1x，易知g(x)在定义域内单调增。gmaxg12，gming12，gx2，0g2x2，

又f2xg2x4，所以：2f2x4，2fx2。

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【例5】求函数y3x68x的值域。

【解析】此题可以看作yuv和u3x6，v8x的复合函数，显然函数u3x6为单调递增3x68x也是单调递增函数。而此函数的定函数，易验证v8x亦是单调递增函数，故函数y义域为[2,8]。

当x2时，y取得最小值10。当x8时，y取得最大值30。

故而原函数的值域为[10,30]。

九.

图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几求出其值域。

y何图形的直观性可【例1】求函数y|x3||x5|的值域。

2x2(x3)【解析】∵y|x3||x5|8

(3x5)，

2x2(x5)8o-35x∴y|x3||x5|的图像如图所示，

由图像知：函数y|x3||x5|的值域为[8,)

22【例2】求函数y(x2)(x8)的值域。

【解析】原函数可化简得：y|x2||x8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(8)间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，y|x2||x8||AB|10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y|x2||x8||AB|10

故所求函数的值域为：[10,]

22【例3】求函数yx6x13x4x5的值域。

【解析】原函数可变形为：

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y(x3)2(02)2(x2)2(01)2

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和，

22y|AB|(32)(21)43，

min由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为[43,]

十、 基本不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

kx22【例1】求下列函数的值域：(1)

yx3(k>0);(2)

y。

2xx1【解析】(1)若x>0时，则yxkk32x332k,等号仅当x=k/x，即xk时成立；

xx若x<0时，则yxkk32x()332k,等号仅当-x=-k/x，即xk时成立；

xx故，y(,32k][32k,)

(2) 解法一：yx22x12=x211x122，故y[2,)

解法二：令tx21,则yt1(t1)．即方程f(t)t2ty10 在[1,+∞)上有解．

t

所以t1t21．从而f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在(0,1)内，从而f(1)≤0,即y≥2.x22x2【例2】若4x1，求的最小值

2x2x22x21(x1)211111[(x1)][(x1)] 【解析】2x22x12x12(x1)第 18 页 共 23 页

∵4x1 ∴0(x1)3

11

(x1)3从而[(x1)111]2

[(x1)]1，

(x1)2(x1)1，即x=-2时”=”成立

(x1)当且仅当(x1)x22x2)min1 即(2x2【例3】求函数y2x23,(x0)的最小值

x【解析】y2x233333932x2332x233336

x2x2x2x2x223633当且仅当2x即x时ymin336

22x22【例4】求y=14(x(0,))的最小值。

cosxsinx2【解析】y>0,y2=(sec x+4csc x)2= sec2 x+16csc2 x+ 8sec xcsc x

22cosxsin=(tan2x+1)+16(cot2x+1)+8cosxsinxx

=17+(tan2x+4cot x+4cot x)+ (16cot2 x+ 4tan x+4tan x)

1(316)333tan2x4cotx4cotx3316cot2x4tanx4tanx

=1316

3tan2x4cotx4cotxtan3x4当且仅当即（这是两个相同的方程）,

2316cotx4tanx4tanx4cotx1即当x=arctan34(0,2)时，“=”成立（达到最小值）。

【例5】若函数y=f(X)的值域为[,3],则函数F(x)f(x)12110的值域是

[2,]

。

f(x)3第 19 页 共 23 页

解析：f(x)>0,

F(x)f(x)11112,并且当f(x)=1时等号成立。而g(t)t在t[,1]时单调递减,

g(t)t在f(x)tt211511在区间[,1]上的值域为[g(1),g()][2,];g(t)t在区间[1,3]上的值域为t22t210[g(1),g(3)]=[2,10/3].综合知F(x)的值域为[2,]

3t[1，3]时单调递增。从而g(t)t【例6】求函数yx2的值域。

x3，则 【解析】令（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

十一、利用向量不等式

性质1 若，则

当且仅当性质2

性质3

类型（1）型（时等式成立

，当且仅当a，同向平行时右边等式成立，a，，当且仅当同号）

反向平行时左边等式成立。

方向相同且两两平行时等式成立。

【例1】 求函数y5x110x的最大值。

【解析】构造向量由性质1，得

当且仅当解2：显然1≤x≤10,，即时，

x19sin23sin([0,])10x9(1sin2)3cos

41y15sin3cos326sin()(其中arctan)

5151(sin())minmin{sin,sin()}{,}

22262626第 20 页 共 23 页



2所以3≤y15sin3cos326sin()326即

类型（2）型的最大值。

(sin())maxsin1

【例2】 求函数yx3109x2【解析】原函数可变为

取

构造向量由性质1，得

且

从而

当且仅当类型（3），即时，型（

）

【例3】求函数yx24(3x)29的最小值。

【解析】构造向量由性质2，得当且仅当a与b同向平行时等式成立

所以（此时类型（4）其它类型

）

【例4】 设x1（i＝1，2，……，2003）为正实数，且x1x1x20152015，试求

yx1x2x2x3【解析】构造向量

x2014x2015x2015x1的最小值。

由性质3，得

即

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【例5】 已知【解析】构造向量

，求的最小值。

从而由性质3，得

当且仅当a=b=c=1/2时“＝”成立。

所以

十二、一一映射法

原理：因为yaxb(c0)cxd在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

【例1】求函数y13x2x1的值域。

11x|x或x22 【解析】∵定义域为13xx1yy2y3

2x1得由x故1y1y11x2y32或2y32

33y或y22 解得33,,22 故函数的值域为 十三、多种方法综合运用

【例1】求函数yx2x3的值域。

2【解析】令tx2(t0)，则x3t1

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y（1）当t0时，t111t21t120yt2 ，当且仅当t=1，即x1时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。

10,2 综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法

1x2x2x3x4y12x2x4 【例2】 求函数的值域。

y12xxxx12x2x412x2x42243【解析】

1x2x1x21x2

221xcos2xtan22，则1x令

x1sin1x22

11711ycossinsin2sin1sin416

22

22∴当sin171ymax16

4时，当sin1时，ymin2

此时tan172,16

2都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。

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