对数公式的运算

对数公式的运用

1．对数的概念

b如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

由定义知：

①负数和零没有对数；

②a>0且a≠1，N>0；

logaN=Nb③loga1=0，logaa=1，a(对数恒等式)，logaa=b。

特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；

以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN．

2．对数式与指数式的互化

b式子名称a=N

b指数式a=N(底数)(指数)(幂值)

对数式logaN=b(底数) (真数) (对数)

3．对数的运算性质

如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么

(1)loga(MN)=logaM+logaN．

(2)loga（M/N）=logaM-logaN．

n(3)logaM=nlogaM (n∈R)．

问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?

n②logaa=? (n∈R)

③对数式与指数式的比较．(学生填表)

b式子a=N，logaN=b 名称：a—幂的底数

b—

N—

a—对数的底数

b—

N—

运算性质：

mnm+na·a=a

am÷an=

am-n

(a>0且a≠1，n∈R)

logaMN=logaM+logaN

logaMN=

logaMn= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0)

难点疑点突破

对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1?

理由如下：

①

a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=?

②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?

③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

解题方法技巧

1． (1)将下列指数式写成对数式：

46xm①5=625；②2=64；③3=27；④13=5．73．

(2)将下列对数式写成指数式：

①log216=4； ②log2128=7；

③log327=x； ④lg0．01=-2；

⑤ln10=2．303；⑥lgπ=k．

b解析由对数定义：a=N，logaN=b．

解答(1)①log5625=4．②log264=6．

③log327=x．④log135．73=m．

解题方法

b指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：a=N

logaN=b

47x(2)①2=16，②2=128，③3=27，

-22．303k④10=0．01，⑤e=10，⑥10=π．

2．根据下列条件分别求x的值：

(1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0；

(3)logx27=3×；(4)logx(2+)= -1．

=? 解析(1)对数式化指数式，得：x=(2)log5x=2=1．

x=?

log2?(3)3×33=?

． 27=x

(4) 2+=x=1/x．

x=?

=01-1-20解答(1)x==2=1/4．

(2)log5x=2=1，x=5=5．

(3)logx27=3×=3×2=6，

636∴x=27=3=()，故x=．

-1(4) +=x=1/x，∴x=1/(+)=．

解题技巧

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化．

n②熟练应用公式：loga1=0，logaa=1，alogaM=M，logaa=n．

5/12-1/33．已知logax=4，logay=5，求A=〔x·y 〕的值．

解析：

思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；

思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?

解答：

解法一∵logax=4，logay=5，

45∴x=a，y=a，

(5/12)(-1/3)∴A=xy=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3·a

-5/3=a0=1．

解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得

logaA=loga(x(5/12)y(-1/3))

=(5/12)logax-(1/3)logay=(5/12)×4-(1/3)×5=0，

∴A=1．

解题技巧

有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算．

1+lgx4

．设x，y均为正数，且x·y=1(x≠1/10)，求lg(xy)的取值范围．

解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数．因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?

1+lgx解答∵x>0，y>0，x·y=1，

两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0．

即lgy=-lgx/(1+lgx) (x≠1/10，lgx≠-1)．

令lgx=t，则lgy=-t/(1+t) (t≠-1)．

2∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)=

t/(1+t) (t≠-1)．

(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题．)

设S=t/(1+t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解．

2∴Δ=S+4S≥0，得S≤-4或S≥0，

故lg(xy)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)．

5

．求值：

2(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)；

2log53(2)2log32-log3(32/9)+log38-5；

(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值；

lg20(4)求7·(1/2)的值．

解析：

2(1)25=5，50=5×10。都化成lg2与lg5的关系式．

(2)转化为log32的关系式．

(3)所求log2a-log2b=log2(a/b)，由已知等式给出了a，b之间的关系，能否从中求出a/b的值呢?

lg20lg20(4)7·(1/2)是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7·(1/2)能否先求出lgx，再求x?

22解答(1)原式=lg5+lg2·lg(10×5)+(lg2)

2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)

2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)

2=（lg(10/2)）·(2+lg2)+lg2+(lg2)

2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)

22=2-lg2-(lg2)+lg2+(lg2)=2．

523log9(2)原式=2log32-(log32-log33)+log32-55

=2log32-5log32+2+3log32-9

= -7．

2(3)由已知lgab=lg(a-2b) (a-2b>0)，

2

∴ab=(a-2b)， 即a-5ab+4b=0．

∴a/b=1或a/b=4，这里a>0，b>0．

若a/b=1，则a-2b<0， ∴a/b=1（ 舍去）．

∴a/b=4，

∴log2a-log2b=log2(a/b)=log24=2．

lg20lg0．7(4)设x=7·(1/2)，则

lgx=lg20×lg7+lg0．7×lg(1/2)

=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)

=lg7+lg2=lg14，

∴x=14， 故原式=14．

解题规律

①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3)．

②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4)．

6．证明(1)logaN=logcN/logca (a>0，a≠1，c>0，c≠1，N>0)；

(2)logab·logbc=logac；

(3)logab=1/logba(b>0，b≠1)；

m(4)loganb=(m/n)logab．

解析:

b(1)设logaN=b得a=N，两边取以c为底的对数求出b就可能得证．

(2)中logbc能否也换成以a为底的对数．

(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数．

m(4)应用(1)将loganb换成以a为底的对数．

解答:

b(1)设logaN=b，则a=N，两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN，

∴b=logcN/logca．∴logaN=logcN/logca．

(2)由(1)logbc=logac/logab．

所以

logab·logbc=logab·logac/logab=logac．

(3)由(1)logab=logbb/logba=1/logba．

解题规律

(1)中logaN=logcN/logca叫做对数换底公式，

(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用． 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用．

mmn(4)由(1)loganb=logab/logaa=mlogab/nlogaa= (m/n)logab．

b7

．已知log67=a，3=4，求log127．

b解析依题意a，b是常数，求log127就是要用a，b表示log127，又3=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?

解答已知log67=a，log34=b，

∴log127=log67/log612=a/(1+log62)．

又log62=log32/log36=log32/(1+log32)，

222

由log34=b，得2log32=b．

∴log32=b/2，∴log62=(b/2)/(1+b/2)=b/(2+b)．

∴log127=a/(1+b/(2+b))=a(2+b)/(2+2b)．

解题技巧

利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧。

xyz8．已知x，y，z∈R+，且3=4=6．

(1)求满足2x=py的p值；

(2)求与p最接近的整数值；

(3)求证：(1/2)/y=1/z-1/x．

解析：已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x，y，z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?

解答：

xyxy（1）解法一3=4，log33=log34，x=ylog34，2x=2ylog34=ylog316，

∴p=log316．

xy解法二设3=4=m，取对数得：

x·lg3=lgm，ylg4=lgm，

∴x=lgm/lg3，y=lgm/lg4，2x=2lgm/lg3，py=plgm/lg4．

由2x=py， 得 2lgm/lg3=plgm/lg4，

2∴p=2lg4/lg3=lg4/lg3=log316．

(2)∵2=log39， ∴ 3-p=log327-log316=log3(27/16)，

p-2=log316-log39=log3(16/9)，

而27/16<16/9， 又3>1真数大则对数大

∴p-2>3-p，

p>

∴与p最接近的整数是3．

解题思想

①提倡一题多解．不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?

②(2)中涉及比较两个对数的大小．这是同底的两个对数比大小．因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性．

xyz(3)解法一令3=4=6=m，由于x，y，z∈R+，

∴k>1，则

x=lgm/lg3，y=lgm/lg4，z=lgm/lg6，

所以1/z-1/x=lg6/lgm-lg3/lgm=(lg6-lg3)/lgm=lg2/lgm，(1/2)/y=(1/2)·lg4/lgm=lg2/lgm，

故(1/2)/y=1/z-1/x．

xyz解法二3=4=6=m，

1/x1/y1/z则有3=m①，4=m②，6=m③，

1/z-1/x(1/2)/y③/①，得m=6/3=2=m．

∴1/z-1/x=(1/2)/y．

229．已知正数a，b满足a+b=7ab．求证：logm(a+b)/3=(1/2)(logma+logmb)(m>0且m≠1)．

解析：

①已知a>0，b>0，a+b=7ab．求证式中真数都只含a，b的一次式，想：能否将真数中的一22次式也转化为二次，进而应用a+b=7ab；

解题技巧

22② (a+b)/3向二次转化以利于应用a+b=7ab是技巧之一．

22③应用a+b=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二．

解答：

logm(a+b)/3=logm((a+b)/3)2/2=

22(1/2)logm((a+b)/3)2=(1/2)logm(a+b+2ab)/9．

22∵a+b=7ab，

∴logm(a+b)/3=(1/2)logm(7ab+2ab)/9=(1/2)logmab=(1/2)(logma+logmb)，

即logm(a+b)/3=(1/2)(logma+logmb)．

思维拓展发散

n1．数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系．设真数N=a×10。其中N>0。1≤a<10，n∈Z．这就是用科学记数法表示真数N．其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘。

n解析：由已知，对N=a×10取常用对数得，lgN=n+lga．真数与对数有何联系?

n解答lgN=lg(a×10)=n+lga．n∈Z，1≤a<10，

∴lga∈(0，1)．

我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0．

n小结：①lgN的首数就是N中10的指数，尾数就是lga，0≤lga<1；

②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；

③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同．

师生互动

什么叫做科学记数法？

N>0，lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？

2．若lgx的首数比lg(1/x)的首数大9，lgx的尾数比lg(1/x)的尾数小 4，且 4= 3，求lgx，x，lg(1/x)的值．

解析① 4= 3，即lg0．203 4=1+ 3，1是对数的首数， 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg(1/x)也可表出．

解答设lgx=n+lga，依题意lg(1/x)=(n-9)+(lga+0．380 4)．

又lg(1/x)= -lgx=-(n+lga)，

∴(n-9)+(lga+ 4)= -n-lga，其中n-9是首数，lga+ 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga)，-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：

n-9=-(n+1) ，lga+ 4=1-lga，

∴n=4，lga= 3．

∴lgx=4+ 3= 3，

4∵ 4= 3，∴x=×10．

∴lg(1/x)=-(4+ 3)= 7． 注：=

22

解题规律

把lgx的首数和尾数，lg(1/x)的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程．再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法．

3．计算：

(1)

(2)2lg(lga)/(2+lg(lga))．

解析(1)中．2+与2-有何关系?+双重根号，如何化简?

(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?

解题方法

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒．解答(1)原式=

== -1+log66 =+

100；

．

(2)原式=2lg(100lga)/(2+lg(lga))=2(lg100+lg(lga))/(2+lg(lga))=2(2+lg(lga))/(2+lg(lga))=2．

4．已知log2x=log3y=log5z<0，比较，，的大小．

解析：已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式．

解答：设log2x=log3y=log5z=m<0．则

x=2m，y=3m，z=5m．

=()，=()，=()．

下面只需比较与，的大小：

6362()=2=8，()=3=9，所以<．

105102又()=2=32，()=5=25，∴>．∴<<． 又m<0，

xxx考查指数函数y=()，y=()，y=()在第二象限的图像，如图：

解题规律

⑴转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化．

⑵比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较?

①是y=()，②是y=()，③是y=()．指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从mmm大到小．所以()<()<()，故

<<

潜能挑战测试

1.(1)将下列指数式化为对数式:

3-2-5①7=343；②(1/4)=16；③e=m．

(2)将下列对数式化为指数式：

xxxmmm

①log1/28=-3；②lg10000=4；③=p．

2.计算：

(1)；(2)；(3)．

3. (1)已知lg2= 0，lg3= 1，求lg；

(2)若=a，求 27．

24.已知a≠0，则下列各式中与log2a总相等的是( )

2

A. 2log2|a|

B. 2log2a

C. (log2a)

D.

log2a+log2a

5.若logx+1(x+1)=1 ，则x的取值范围是( )

b6.已知a=M(a>0，b>0，M≠1)，且logMb=x，则logMa的值为( )

7.若log63= 1，log6x= 9， 则x为( )

8.若log5(log3(log2x))=0，则x=( )．

9. =( )．

210.如果方程lgx+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2，那么x1·x2的值为( )．

11.生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级．H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中 (Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，66)．已知对H1输入了10千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?

xyz12.已知x，y，z∈R+且3=4=6，比较3x，4y，6z的大小．

xyyx2213.已知a，b均为不等于1的正数，且ab=ab=1，求证x=y．

abcd14.已知2·5=2·5=10，证明(a-1)/(d-1)=(b-1)/(c-1)．

15.设集合M=｛x|lg(ax-2(a+1)x-1)>0｝，若M≠空集，M =｛x|x<0｝，求实数a的取值范围．

16.在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次．用科学记数法表示这个数为N=，若已知=0．584 3，则lgN=

．

17.某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=，

lg3=

18.某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=．

名师助你成长

1．(1)①log7343=3．②log(1/4)16=-2．③lnm=-5．

-34p(2)①(1/2)=8．②10=10 000．③e=．

2．(1)48 点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式．

(2)9/8 点拨：应用商的乘方和对数恒等式．

(3)144 点拨：应用对数运算性质和积的乘方．

3．(1) 6 点拨：lg=(1/2)lg45=12lg(90/2)=(1/2)(lg3+lg10-lg2)．

-2(2) 27=lg×10)= -2+= -2+a

4．C

点拨：a≠0，a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义．

5．B

点拨：底x+1>0且x+1≠1；真数x+1>0．

b6．A

点拨：对a=M取以M为底的对数．

7．C

点拨：注意 1+ 9=1，log6(1/x)= 9，

所以log63+log6(1/x)=log63x=1．∴3x=6，

x=2．

22

8．x=8 点拨：由外向内．log3(log2x)=1，

log2x=3，

x=2．

9．5 点拨：log87·log76·log65=log85， =5．

10．1/6 点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1，lgx2．

由lgx1= -lg2，lgx2= -lg3，得x1=1/2，x2=1/3．x1·x2= 1/6

11．设第n个营养级能获得100千焦的能量，

6n-1依题意:10·(10/100)=100，

7-n2化简得:10=10，利用同底幂相等，得7-n=2，

或者两边取常用对数也得7-n=2．

∴n=5，即第5个营养级能获能量100千焦．

xyz12．设3=4=6=k，因为x，y，z∈R+，

所以k>1．取以k为底的对数，得：

x=1/logk3，y=1/logk4，z=1/logk6．

∴3x=3/logk3==1/logk，

53同理得：4y=1/logk，6z=1/logk．

而=， =， =，

∴logk>logk>logk．

又k>1，>>>1，

∴logk>logk>logk>0，∴3x<4y<6z．

xyyxxyyx13．∵ab=ab=1，∴lg(ab)=lg(ab)=0，

即xlga+ylgb=0，ylga+xlgb=0．(※)

两式相加，得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0．

即(lga+lgb)(x+y)=0．∴lga+lgb=0 或x+y=0．

当lga+lgb=0时，即lgb=-lga，代入xlga+ylgb=0，得: (x-y)lga=0，

a是不为1的正数∴lga≠0，∴x-y=0．

22∴x+y=0或x-y=0，即(x+y)(x-y)=0 ∴x=y．

aba-11-b14．∵25=10，∴2=5．两边取以2为底的对数，得：a-1=(1-b)log25．

∴log25= (b≠1)． 同理得log25=

= (d≠1)．

即b≠1，d≠1时，．

∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b)，

∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)．

当b=1，c=1时显然成立．

215．设lg(ax-2(a+1)x-1)=t (t>0)，则

ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0)．

t22∴10>1 ，ax-2(a+1)x-1>1，∴ax-2(a+1)x-2>0．

①

a=0时，解集｛x|x<-1｝｛x|x<0｝；

当a≠0时，M≠{}且M=｛x|x<0｝．

2∴方程ax-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1，x2且x1<

x2

②当a>0时，M=｛x|x>x2｝，显然不是｛x|x<0｝的子集；

③当a<0时，M=｛x|x

Δ=4(a+1)2+8a>0，

x1+x2=2(a+1)/a>0，

x1·x2=-2/a>0．

解得a<-2-

2依题意，不等式ax-2(a+1)x-1>1, 有解，且只有正数解。

a=0时，不等式为-2x-2>0, 得：x<-1, 不符。

2a0时，为使解只为正数，则需a<0, 且ax-2(a+1)x-2=0的相异两根都为正根

22

Δ=4(a+1)+8a=4(a+4a+1)>0,得：a<(-2-),

or

a>(-2+)

两根和x1+x2=2(a+1)/a>0, 即a<-2

两根积x1·x2=-2/a>0，即a<0

综合得：a<(-2-)

1116．N=×10，

lgN= 3．

17．设经过x年，成本降为原来的40%．则

x(1-10%)=40%，两边取常用对数，得：

x·lg(1-10%)=lg40% ，

即x==(lg4-1)/(lg9-1)=(2lg2-1)/(2lg3-1)=10．

所以经过10年成本降低为原来的40%．

18．f(x)=〔或f(x)=lgx/〕．

y点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+%)=xa，∴y=．

12．设3^x=4^y=6^z=k,则x=log（3）k，y=log（4）k，z=log(6)k.

很显然k>1,由上面可知x=1/log(k)3,y=1/log(k)4,z=1/log(k)6.

所以3x=3/log(k)3，4y=4/log(k)4，6z=6/log(k)6.

3x/4y=[3log(k)4]/[4log(k)3]=log(k)4^3/log(k)3^4=log(k)64/log(k)81<1,

所以，

3x<4y.同样有，4y/6z=[4log(k)6]/[6log(k)4]=log(k)1296/log(k)4096<1,

所以4y<6z.

所以3x<4y<6z.

对于这种连等的式子，大多数都可以设一个k，使得这个式子等于k，那么就可以得到几个关于k的式子，那么题目就好解决了，记得我读书的时候就是这么做的，而且效果不错

219．已知集合M={x|ax-(a+1)x-1>0满足φ属于M的真子集，M⊆R+}，求a的取值范围

空集是M的真子集,M⊆R+

空集是M的真子集, ∴ax²-(a+1)x-1>0有解

M⊆R, ∴ax²-(a+1)x-1>0的解是正数

设ax²-(a+1)x-1=0的解为x1，x2 (x1>=x2)

a>0时,M的解为x>x1,或x

a=0时,不等式为-x-1>0, ∴x<-1无正数解(舍)

a<0时,M的解为x2x2>0

∴△=(a+1)²+4a=a²+6a+1=(a+3)²-8>0, ∴a>2√2-3,或a<-2√2-3①

x1x2=-1/a>0, ∴a<0②

x1+x2=(a+1)/a>0, ∴a>0或a<-1③

结合①②③得

a<-2√2-3

ax²-(a+1)x-1与x轴一定有交点，就是ax²-(a+1)x-1=0有实数解:

空集是M的真子集说明M不是空集,就是说ax²-(a+1)x-1>0有解

若ax²-(a+1)x-1与x轴一定无交点

则ax²-(a+1)x-1恒大于0,或恒小于0

ax²-(a+1)x-1>0的解集不是空集就是实数集R

而M⊆R+,显然和这两个都矛盾