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自动控制原理3.4：高阶系统的时域分析
参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.三阶系统单位阶跃响应
设在 s s s左半平面具有一对共轭复数极点和一个实极点的三阶系统，闭环传递函数一般形式为：
Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = ω n 2 s 0 ( s + s 0 ) ( s 2 + 2 ζ ω n s + ω n 2 ) \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2s_0}{(s+s_0)(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)} Φ(s)=R(s)C(s)=(s+s0)(s2+2ζωns+ωn2)ωn2s0
其中： − s 0 -s_0 −s0为三阶系统的闭环负实数极点；
三阶系统在 0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1时单位阶跃响应：
c ( t ) = 1 − 1 b ζ 2 ( b − 2 ) + 1 e − s 0 t − e − ζ ω n t b ζ 2 ( b − 2 ) + 1 [ b ζ 2 ( b − 2 ) cos ω n 1 − ζ 2 t + b ζ [ ζ 2 ( b − 2 ) + 1 ] 1 − ζ 2 sin ω n 1 − ζ 2 t ] ， t ≥ 0 \begin{aligned} c(t)&=1-\frac{1}{b\zeta^2(b-2)+1}{\rm e}^{-s_0t}\\\\&-\frac{{\rm e}^{-\zeta\omega_nt}}{b\zeta^2(b-2)+1}[b\zeta^2(b-2)\cos\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}t+\frac{b\zeta[\zeta^2(b-2)+1]}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}t]，t≥0 \end{aligned} c(t)=1−bζ2(b−2)+11e−s0t−bζ2(b−2)+1e−ζωnt[bζ2(b−2)cosωn1−ζ2 t+1−ζ2 bζ[ζ2(b−2)+1]sinωn1−ζ2 t]，t≥0
2.高阶系统单位阶跃响应
由控制系统结构图可得，系统闭环传递函数：
Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} Φ(s)=R(s)C(s)=1+G(s)H(s)G(s)
一般形式：
Φ ( s ) = M ( s ) D ( s ) = b 0 s m + b 1 s m − 1 + ⋯ + b m − 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n − 1 + ⋯ + a n − 1 s + a n ， m ≤ n \Phi(s)=\frac{M(s)}{D(s)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+\dots+b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\dots+a_{n-1}s+a_n}，m≤n Φ(s)=D(s)M(s)=a0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+anb0sm+b1sm−1+⋯+bm−1s+bm，m≤n
上式表示为乘积形式：
Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = K ∏ i = 1 m ( s − z i ) ∏ i = 1 m ( s − s i ) \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K\displaystyle\prod_{i=1}^m(s-z_i)}{\displaystyle\prod_{i=1}^m(s-s_i)} Φ(s)=R(s)C(s)=i=1∏m(s−si)Ki=1∏m(s−zi)
其中： K = b 0 / a 0 K=b_0/a_0 K=b0/a0； z i z_i zi称为 M ( s ) = 0 M(s)=0 M(s)=0之根，称为闭环零点； s i s_i si为 D ( s ) = 0 D(s)=0 D(s)=0之根，称为闭环极点；
3.高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析
如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点称为闭环主导极点。除闭环主导极点外，所有其他闭环极点由于其对应的响应分量随时间的推移迅速衰减，对系统的时间响应过程影响甚微，这些极点统称为非主导极点；高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点；
实例分析：
E x a m p l e 1 ： {\rm Example1：} Example1： 已知某系统的闭环传递函数为
Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = 1.05 ( 0.4762 s + 1 ) ( 0.125 s + 1 ) ( 0.5 s + 1 ) ( s 2 + s + 1 ) \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1.05(0.4762s+1)}{(0.125s+1)(0.5s+1)(s^2+s+1)} Φ(s)=R(s)C(s)=(0.125s+1)(0.5s+1)(s2+s+1)1.05(0.4762s+1)
试结合主导极点的概念分析该四阶系统的动态性能。
解：
由题意可得：
Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = 8 ( s + 2.1 ) ( s + 8 ) ( s + 2 ) ( s 2 + s + 1 ) \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{8(s+2.1)}{(s+8)(s+2)(s^2+s+1)} Φ(s)=R(s)C(s)=(s+8)(s+2)(s2+s+1)8(s+2.1)
该高阶系统具有一对共轭复数主导极点 s 1 , 2 = − 0.5 ± j 0.866 s_{1,2}=-0.5±{\rm j}0.866 s1,2=−0.5±j0.866，非主导极点 s 3 = − 2 ， s 4 = − 8 s_3=-2，s_4=-8 s3=−2，s4=−8实部的模比主导极点实部的模大三倍以上，闭环零点 z = − 2.1 z=-2.1 z=−2.1不在主导极点附近，将该四阶系统近似成二阶系统：
Φ ( s ) ≈ C ( s ) R ( s ) = 1.05 s 2 + s + 1 \Phi(s)≈\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1.05}{s^2+s+1} Φ(s)≈R(s)C(s)=s2+s+11.05
原系统与近似系统单位阶跃响应：
小结：
- 闭环零点影响。减小峰值时间，使系统响应速度加快，超调量 σ % \sigma\% σ%增大；表明闭环零点会减小系统阻尼，且这种作用将随着闭环零点接近虚轴而加剧；
- 闭环非主导极点影响。增大峰值时间，使系统响应速度变缓，但可以使超调量 σ % \sigma\% σ%减小；表明闭环非主导极点可以增大系统阻尼，且这种作用将随着闭环极点接近虚轴而加剧；
- 若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响会相互削弱。
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