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什么是递归与递归分形

本文，将会讨论在程序中的递归，迭代，分形递归。

什么是递归

一个事物由这个事物的本身所构建，那么在理解这个事物的时候，就需要理解这个事物的构造方式，那么就需要回到理解这个事物的本身，从而再次需要理解这个事物的构成……这个不断循环理解的过程就形成了递归。

首先，更通俗的来讲，递归这个概念，其中的“递”就代表传递，“归”就代表着回归。例如：现在有A和B两个地点，而B地恰好有一个哆啦A梦的任意门，那么我们从A点走到B点后就会立即被传送到A点，这样就完成了一次循环。而不断完成这个循环的过程，是递归的重要要素——循环嵌套。

其次，递归还有另一个重要要素——自身构建。正如前面所提到，我们在理解这个事物时需要理解这个事物的构造方式。这在程序中就体现为，每一次循环嵌套里都有同样的构建方式，但可能构建方式中包含的内容、数据发生了变化。例如：仍旧是A和B点两个地点和一个任意门，这一次，每当我们传过任意门，依然会被传送到A点，但B点和任意门的位置会变化到初始A、B两地的中点位置。这里的位置变换就是循环嵌套中的构建方式，而构建方式的内容、数据就是B点的位置。所以每一次递归完成后，都会生成一个新的B点位置，并回归到新的循环嵌套中。

最后，递归是可以有出口的。什么意思呢？在前面的案例中，如果我们持续从A走向B，会出现无限循环，这个递归是无限循环嵌套的。那我们如果想让递归终止，则需要一个让递归终止的条件（本例中为递归次数），满足条件后，也就完成了最后一次递归，找到了递归的出口。而同时，递归终止就会开始回溯，从最后一循环逐渐返回上一层，这代表事物层层回归。这很像双多米诺骨牌效应（Double Domino Effect, 如下图），这种效应会在把相邻多米诺骨牌的间距控制为骨牌的高度时发生，当第1块砖块被推倒，带动随后的砖块一起倾倒，当最后一块砖倒在地面，就会开始“回溯”的过程，最终从第n块砖到第1块砖逐次倒在地面上。这就好比递归获取到最后一层的结果后，逐层传回的过程。

Double Domino Effect:

如果上述例子使用JAVA编程实现，则形如：

public class Recursion {//递归public void position(double a, double b,int i) {if(i<0) {return;} //这里i代表递归的次数i--;double new_b = b*0.5; //递归的自身构建方法System.out.println(a+"+"+new_b);position(a,new_b,i); //进入下一层递归，将新的数据b传入}//主函数public static void main (String[] args) {Recursion p= new Recursion(); p.position(0, 100, 10);//调用递归方法，赋予a,b,i属性}
}

这就形成了一个最简单的递归，程序按照我们既定的方法完成10次循环，且每次循环都输出一个为B点坐标值（这里为一维坐标系）一半的值。

例：用递归求数的阶乘：

public static long factorial(int n) throws Exception {if (n < 0)throw new Exception("参数不能为负！");else if (n == 1 || n == 0)return 1;elsereturn n * factorial(n - 1);
}

迭代与递归的区别

我们通过一个例子，来了解迭代与递归，在处理同一个任务时，会有什么不同。这个任务的目标是追到女神。

首先，迭代循环——是整体视角，它可以看清整体变化的过程。

这意味着高屋建瓴地把追到女神，分为若干个步骤，这些步骤可以一样也可以不一样，如送礼物、看电影、请吃饭等等。然后，一个步骤的执行就是一次迭代，即循环了一次。直到循环结束，如迭代了520次，女神就必定追到了。

可以看到，在520次的迭代中，每次迭代的结果都是明确的，都比上一次更加接近目标，并且也不依赖下一次的迭代，但可能会依赖上一次——比如上一次看电影了，这一次就不会再看电影。

其次，递归循环——是局部视角，它无法看清整体变化的过程。

这意味着无法知道经历几次循环，才可以追到女神，只是不断重复同样的操作，如热切的尬聊，但每次尬聊可以发生在不同的场景和时间，如餐厅、郊游、雨天、深夜等等，以及聊不同的内容，即：操作相同，数据不同。直到女神，在一次尬聊中，回复了520，就代表递归的结束，即追到女神了。

而在之前的AB门穿越事件中，示例代码使用了递归的次数作为递归的出口，满足次数即结束递归循环，这里递归循环和迭代循环是一样的。而在递归求数的阶乘中，这个循环的出口是相对未知的，无法知道几次循环才可以求得当前输入的阶乘。那么综上可见，迭代与递归，有时是可以相互转换的，有时却是不行的，主要是整体与局部视角的不同。

什么是分形

分形——通常被定义为一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有自相似的性质。例如，雪花、晶体、弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉等等。

曼德尔球分形：

递归分形

正如分形的定义所言，分形的每一部分都是整体缩小后的形状，可以想象，这种表现在雪花上尤为直观。那么这就意味着，分形图像可以通过递归的方式来实现。

这里我们尝试用递归写一个谢尔宾斯基三角形。谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。它是自相似集的例子。
思路：
1.取一个空心的三角形（这里用等腰三角形）；
2.沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形（其中，周围3个空心，中间1个实心）；
3.对新出现的空心三角形重复执行第2步操作。

JAVA代码实现：

	public void drawTriangle(int x1, int y1, int dx, int dy, int i) {if (i<0) {return; // i 为循环次数，每层递减，小于0时返回}i--;int px[]= {x1,x1+dx,x1-dx,x1}; //X1, y1为顶点像素坐标，dx,dy为顶点到底角的距离int py[]= {y1,y1+dy,y1+dy,y1};g.drawPolygon(px,py,4); //绘制空心三角形int px1[]= {x1-dx/2,x1+dx/2,x1,x1-dx/2}; //取中点int py1[]= {y1+dy/2,y1+dy/2,y1+dy,y1+dy/2};g.fillPolygon(px1, py1, 4); //绘制实心三角形drawTriangle(x1-dx/2,y1+dy/2,dx/2,dy/2,i); //对新分出的左下角空心三角形递归drawTriangle(x1,y1,dx/2,dy/2,i); //对新分出的顶部三角形递归drawTriangle(x1+dx/2,y1+dy/2,dx/2,dy/2,i); //对新分出的右下角三角形递归	}

创建UI与绘图界面后，即可调用该方法实现绘制谢尔宾斯基三角形。

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