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转帖:BTree,B
BTree,B-Tree,B+Tree,B*Tree都是什么
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B 树、 B- 树、 B+ 树、 B* 树都是什么
B 树
即二叉搜索树:
1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子( Left 和 Right );
2. 所有结点存储一个关键字;
3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树,右指针指向大于其关键字的子树;
如:
B 树的搜索,从根结点开始,如果查询的关键字与结点的关键字相等,那么就命中;否则,如果查询关键字比结点关键字小,就进入左儿子;如果比结点关键字大,就进入右儿子;如果左儿子或右儿子的指针为空,则报告找不到相应的关键字;
如果 B 树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多(平衡),那么 B 树的搜索性能逼近二分查找;但它比连续内存空间的二分查找的优点是,改变 B 树结构(插入与删除结点)不需要移动大段的内存数据,甚至通常是常数开销;
如:
但 B 树在经过多次插入与删除后,有可能导致不同的结构:
右边也是一个 B 树,但它的搜索性能已经是线性的了;同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引;所以,使用 B 树还要考虑尽可能让 B 树保持左图的结构,和避免右图的结构,也就是所谓的“平衡”问题;
实际使用的 B 树都是在原 B 树的基础上加上平衡算法,即“平衡二叉树”;如何保持 B 树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键;平衡算法是一种在 B 树中插入和删除结点的策略;
B- 树
是一种多路搜索树(并不是二叉的):
1. 定义任意非叶子结点最多只有 M 个儿子;且 M>2 ;
2. 根结点的儿子数为 [2, M] ;
3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为 [M/2, M] ;
4. 每个结点存放至少 M/2-1 (取上整)和至多 M-1 个关键字;(至少 2 个关键字)
5. 非叶子结点的关键字个数 = 指向儿子的指针个数 -1 ;
6. 非叶子结点的关键字: K[1], K[2], …, K[M-1] ;且 K[i] < K[i+1] ;
7. 非叶子结点的指针: P[1], P[2], …, P[M] ;其中 P[1] 指向关键字小于 K[1] 的子树, P[M] 指向关键字大于 K[M-1] 的子树,其它 P[i] 指向关键字属于 (K[i-1], K[i]) 的子树;
8. 所有叶子结点位于同一层;
如:( M=3 )
B- 树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点;
B- 树的特性:
1. 关键字集合分布在整颗树中;
2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;
3. 搜索有可能在非叶子结点结束;
4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;
5. 自动层次控制;
由于限制了除根结点以外的非叶子结点,至少含有 M/2 个儿子,确保了结点的至少利用率,其最底搜索性能为:
其中, M 为设定的非叶子结点最多子树个数, N 为关键字总数;
所以 B- 树的性能总是等价于二分查找(与 M 值无关),也就没有 B 树平衡的问题;
由于 M/2 的限制,在插入结点时,如果结点已满,需要将结点分裂为两个各占 M/2 的结点;删除结点时,需将两个不足 M/2 的兄弟结点合并;
B+ 树
B+ 树是 B- 树的变体,也是一种多路搜索树:
1. 其定义基本与 B- 树同,除了:
2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;
3. 非叶子结点的子树指针 P[i] ,指向关键字值属于 [K[i], K[i+1]) 的子树( B- 树是开区间);
5. 为所有叶子结点增加一个链指针;
6. 所有关键字都在叶子结点出现;
如:( M=3 )
B+ 的搜索与 B- 树也基本相同,区别是 B+ 树只有达到叶子结点才命中( B- 树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;
B+ 的特性:
1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;
2. 不可能在非叶子结点命中;
3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;
4. 更适合文件索引系统;
B* 树
是 B+ 树的变体,在 B+ 树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;
B* 树定义了非叶子结点关键字个数至少为 (2/3)*M ,即块的最低使用率为 2/3 (代替 B+ 树的 1/2 );
B+ 树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中 1/2 的数据复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针; B+ 树的分裂只影响原结点和父结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;
B* 树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之间增加新结点,并各复制 1/3 的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;
所以, B* 树分配新结点的概率比 B+ 树要低,空间使用率更高;
小结
B 树:二叉树,每个结点只存储一个关键字,等于则命中,小于走左结点,大于走右结点;
B- 树:多路搜索树,每个结点存储 M/2 到 M 个关键字,非叶子结点存储指向关键字范围的子结点;
所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;
B+ 树:在 B- 树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引; B+ 树总是到叶子结点才命中;
B* 树:在 B+ 树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率从 1/2 提高到 2/3 ;
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