数学建模案例分析4足球门的危险区域--概率统计方法建模

§4 足球门的危险区域

一、问题提出

在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。

实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。下面要建模研究下列问题：

（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；

（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。

二、问题分析

根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。

某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。

球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。

三、模型假设

1、在理想状态下，认为球员的基本素质是相同的，或差别不大；

2、不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，设球速为10米/秒；

3、球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域；

4、只考虑标准的球场：长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。

四、符号说明

：半场上的一个球门所在平面，是地面以上的半平面；

D：球门内有点在球门平面上所表示的区域，即D；

A(x,y)：球场上的点，(x,y)为其坐标；

B(y,z)：球门内的点，(y,z)为其坐标；

p(y,z)：从球场上A点对准球门内B点射门对，命中球门的概率；

D(x,y)：球场上点(x,y)对球门的威胁度；

k：球员的基本素质，是一个相对指标；

d：球场上A点到球门内B点的直线距离；

：直线AB在地面上的投影线与球门平面的夹角（锐角）。

五、模型建立与求解

首先建立如图所示的空间直角坐标系，即以球门的底边中点为原点O，地面为xOy面， 球门所在的平面为yOz面。

z



A B

x



O

y

问题（1） 根据前面的分析，在此假设基本素质为k的球员从A(x0,y0)点向距离为d的球门内目标点B(y1,z1)射门时，球在目标平面上的落点呈现二维正态分布，且随机变量y,z是相互独立的。其概率密度函数为

(yy1)2(zz1)2f(y,z)exp

,(y,z) （1）22221其中方差与球员素质k成反比，与射门点A(x0,y0)和目标点B(y1,z1)之间的距离d成正比，且偏角越大方差越小。当确定的表达式为2时（即正对球门中心），仅与k，d有关。由此,我们可以d(cot1)

k2x0(y1y0)2z12。

其中coty1y0x0，d 注意到，在（1）式的密度函数中，关于变量y,z是对称的，但实际中球只能落在地面以上，即只有z0。为了平衡这个密度函数，我们令

pD(x0,y0;y1,z1)f(y,z)dydz

Dp(x0,y0;y1,z1)f(y,z)dydz

则取两者的比值即为这次射门命中球门的概率

p(x0,y0;y1,z1)pD(x0,y0;y1,z1) （2）

p(x0,y0;y1,z1)

对命中球门的概率（2）在球门区域D内作积分，定义为球场上某点A(x0,y0)对球门的威胁度，即

D(x0,y0)p(x,y;y,z)dydz

001111D综合以上分析，对于球场上任意一点A(x,y)关于球门的威胁度为

D(x,y)p(x,y;y,z)dydz111D1

其中p(x,y;y1,z1)y1ypD(x,y;y1,z1)222，dx(y1y)z1，cot。

xp(x,y;y1,z1) 要求解该问题一般是比较困难的，只能采用数值积分的方法求解。首先确定反应球员基本素质的参数k，具体方法如下：

根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球门的正前方（2）距离球门10米处（d=10）向球门内的目标点劲射，标准差应该在1米以内，即取1，由d(cot1)可k以得到k10。于是，当球员的基本素质k10时，求解该模型可以得球场上任意点对球门的威胁度，部分特殊点的结果见下表。根据各点的威胁度的值可以作出球场上等威胁度的曲线。

位置

问题1

问题2

位置

问题1

问题2

位置

问题1

问题2

(0,1)

14.46

12.94

(3,50)

2.67

1.08

(10,30)

3.82

1.93

(0,5)

14.54

12.01

(5,1)

6.30

5.90

(10,50)

2.12

0.86

(0,10)

12.69

8.97

(5,5)

11.41

8.95

(20,1)

0.06

0.04

(0,20)

8.64

4.80

(5,10)

10.36

7.23

(20,5)

0.88

0.59

(0,30)

5.71

2.76

(5,20)

7.16

4.12

(20,10)

1.85

1.16

(0,50)

2.81

1.10

(5,30)

4.87

2.45

(20,20)

2.43

1.34

(3,1)

11.56

10.07

(5,50)

2.51

1.01

(20,30)

2.19

1.08

(3,5)

13.48

10.93

(10,1)

0.89

0.82

(20,50)

1.48

0.59

(3,10)

11.76

8.38

(10,5)

5.33

3.92

(3,30)

5.32

2.66

(3,20)

7.95

4.57

(10,10)

6.47

4.31

(10,20)

5.24

3.01

问题（2） 假设守门员站在射门点与两球门柱所夹角的角平分线上，即守门员站在球门在垂直射门线平面上的投影区域中心位置是最佳防守位置。球员在球场上某点对球门内任一点(y,z)D起脚射门，经过时间t到达球门平面，球到达该点时，守门员对球都有一个捕获的概率p0(t,y,z)，下面先分析一下这个函数p0(t,y,z)的形式。

首先注意到，当t一定时，p0(t,y,z)应该是一个以守门员为中心向周围辐射衰减的二维函数，当t变小时，曲面的峰度应增高，而面积减小，因此我们可以用二维正态分布的概率密度描述这种变化趋势。参数t表示从起脚射出的球到达球门的时间，也就是给守门员的反应时间，该时间越长，曲面越平滑，综上我们得到

(ya)2(z1.25)2p0(t,y,z)exp

ct

其中c为守门员的反应系数，据专家预测，一般正常人的反应时间约为0.12~0.15秒。

根据著名的“纸条试验”可得到一般人反应时间约为2/10秒（即设想将一张纸条放在人的两手指之间，当纸条在重力作用下自由下落时，由s0.5gt2可以计算出人的反应时间）。因此，在此不妨取c=1/7（实验值），守门员防守时偏离球门中心的距离为

a27.32(y03.66)2x0(y03.66)x(y03.66)x2202203.66

在问题（1）的基础上，对球员在球场上一点A(x0,y0)射入球门的概率应修正如下：

pD(x0,y0;y1,z1)f(y,z)[1p0(t,y,z)]dydz

D即p0(t,y,z)表示守门员捕获球的概率，1p0(t,y,z)就表示捕不住球的概率。于是类似地得到球场上任意一点A(x,y)对球门的威胁度为

D(x,y)p(x,y;y,z)dydz111D1

其中p(x,y;y1,z1)pD(x,y;y1,z1)d，p(x,y;y1,z1)同问题（1），且(cot1)，

kp(x,y;y1,z1)x2(y1y)2z12，tcoty1yx，dd，v0为常数。

v0 这里同样可取进攻球员的基本素质k10，守门员的反应系数c=1/7，球速v010米/秒，类似于问题（1）的求解可得球场上任意点对球门的威胁度，这里给出了一些特殊点的值，见上表。根据各点的威胁度的值同样可以作出球场上等威胁度的曲线。

六、结果分析与说明

比较两个问题的结果可以看出，问题（2）有防守的情况比问题（1）无防守的情况有很大的差别，问题（2）主要是守门员的作用，使得危险区域明显地减小。威胁度最大的区域是在球门附近，特别是正前方。由此也说明了球场上的大、小禁区设置的合理性。

本模型中k值是估算出来的，严格地讲，应该通过大量的实验按统计规律确定更好。我们通过计算证明了，当k增加（即球员的素质增强）时，对球门的威胁明显增加，危险区域变大。关于守门员素质，在模型中没有考虑，是为了问题的简化。关于有多名队员的进攻和防守情况和排兵布阵的相关问题就更复杂了。

这还是一个简化了的方法，实际中，从不同角度的位置射门，所看到的球门区域可能不是一个矩形区域，而是一个不规则的四边形，它的形状随着射门点的变化而变化，为了简化计算在矩形区域上作积分，这样与实际可能有些偏差。另外该问题还有多种不同解法，比如可以借助于初等几何和代数的方法，在不同的射门点进行随机模拟，通过可能射入球门的概率来定义威胁度函数，也能得出相应的结果。

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关于年龄

1.一个横贯终生的品德基本上都是在青年时代形成的，可惜在那个至关重要的时代，青年人受到的正面的鼓动永远是为成功而搏斗，而一般所谓的成功总是带有排他性、自私性的印记。结果，脸颊上还没有皱纹的他们，却在品德上挖下了一个个看不见的黑洞。

2.我不赞成太多地歌颂青年，而坚持认为那是一个充满陷阱的年代。陷阱一生都会遇到，但青年时代的陷阱最多、最大、最险。

3.历史上也有一些深刻的哲人，以歌颂青年来弘扬社会的生命力。但这里显然横亘着一种二律背反：越是坚固的对象越需要鼓动青年去对付，但他们恰恰因为年轻，无法与真正的坚持相斡旋。

4.青年时代的正常状态是什么，我想一切还是从真诚的谦虚开始。青年人应该懂得，在我们出生之前，这个世界已经精精彩彩、复复杂杂地存在过无数年，我们什么也不懂，能够站正脚下的一角建设一点什么，已是万幸。

5.中年是对青年的延伸，又是对青年的告别。这种告别不仅仅是一系列观念的变异，而是一个终于自立的成熟者对于能够随心所欲处置各种问题的自信。

6.中年人的当家体验是最后一次精神断奶。你突然感觉到终于摆脱了父母、兄长、老师的某种依赖，而这种依赖在青年时代总是依稀犹在的;对于领导和组织，似乎更贴近了，却又显示出自

己的独立存在，你成了社会结构网络中不可缺少的一个点;因此你在热闹中品尝了有生以来真正的孤立无援，空前的脆弱和空前的强大集于一身。

7.中年人一旦有了当家体验，就会明白教科书式的人生教条十分可笑。当家管着这么一个大摊子，每个角落每时每刻都在涌现着新问题，除了敏锐而又细致地体察实际情况，实事求是地解开每一个症结，简直没有高谈阔论、把玩概念的余地。这时人生变得很空灵，除了隐隐然几条人生大原则，再也记不得更多的条令。

8.中年人的坚守，已从观点上升到人格，而人格难以言表，他们变得似乎已经没有顶在脑门上的观点。他们知道，只要坚守着自身的人格原则，很多看似对立的观点都可相容相依，一一点化成合理的存在。于是，在中年人眼前，大批的对峙消解了，早年的对手找不到了，昨天的敌人也没有太多仇恨了，更多的是把老老少少各色人等照顾在自己身边。请不要小看这“照顾”二字，中年人的魅力至少有一半与此相关。

9.中年人最可怕的是失去方寸。这比青年人和老年人的失态有更大的危害。中年人失去方寸的主要特征是忘记自己的年龄。一会儿要别人像对待青年那样关爱自己，一会儿又要别人像对待老人那样尊敬自己，他永远活在中年之外的两端，偏偏不肯在自己的年龄里落脚。

10、某个时期，某个社会，即使所有的青年人和老年人都中魔一般荒唐了，只要中年人不荒唐，事情就坏不到哪里去。最怕的是中年人的荒唐，而中年人最大的荒唐，就是忘记了自己是中年。

11、中年太实际、太繁忙，在整体上算不得诗，想来难理解;青年时代常常被诗化，但青年时代的诗太多激情而缺少意境，按我的标准，缺少意境就算不得好诗。

12、一般情况下，老年岁月总是比较悠闲，总是能够没有功利而重新面对自然，总是漫步在回忆的原野，而这一切，都是诗和文学的特质所在。老年人可能不会写诗或已经不再写诗，但他们却以诗的方式生存着。看街市忙碌，看后辈来去，看庭花凋零，看春草又绿，而思绪则时断时续，时喜时悲，时真时幻。 13、老人的年龄也有积极的缓释功能，为中青年的社会减轻负担。不负责任的中青年用不正当的宠溺败坏了老人的年龄，但老人中毕竟还有冷静的智者，默默固守着年岁给予的淡然的尊严。

14、只有到了老年，沉重的人生使命已经卸除，生活的甘苦也已了然，万丈红尘已移到远处，宁静下来了的周际环境和逐渐放慢了的生命节奏构成了一种总结性、归纳性的轻微和声，诗的意境出现了。

15、中青年的世界再强悍，也经常需要一些苍老的手来救助。平时不容易见到，一旦有事则及时伸出，救助过后又立即消失，神龙见首不见尾。这是一种早已退出社会主体的隐性文化和柔

性文化，隐柔中沉积着岁月的硬度，能使后人一时启悟，如与天人对晤。老年的魅力，理应在这样的高位上偶尔显露。不要驱使，不要强求，不要哄抬，只让它们成为人生的写意笔墨，似淡似浓，似有似无。

关于人生

1.我们对这个世界，知道得还实在太少。无数的未知包围着我们，才使人生保留迸发的乐趣。当哪一天，世界上的一切都能明确解释了，这个世界也就变得十分无聊。人生，就会成为一种简单的轨迹，一种沉闷的重复。

2.人有多种活法，活着的文明等级也不相同，住在五层楼上的人完全不必去批评三层楼的低下，何况你是否在五层楼还缺少科学论证。

3.人生的道路也就是从出生地出发，越走越远。一出生便是自己，由此开始的人生就是要让自己与种种异己的一切打交道。打交道的结果可能丧失自己，也可能在一个更高的层面上把自己找回。

4.不管你今后如何重要，总会有一天从热闹中逃亡，孤舟单骑，只想与高山流水对晤。走得远了，也许会遇到一个人，像樵夫，像路人，出现在你与高山流水之间，短短几句话，使你大惊失色，引为终生莫逆。但是，天道容不下如此至善至美，你注定会失去他，同时也就失去了你的大半生命。

5.人生的过程虽然会受到社会和时代的很大影响，但贯穿首尾的基本线索总离不开自己的个体生命。个体生命的完整性、连贯性会构成一种巨大的力量，使人生的任何一个小点都指点着整体价值。

6.如果有一天，我们突然发现，投身再大的事业也不如把自己的人生当做一个事业，聆听再好的故事也不如把自己的人生当做一个故事，我们一定会动手动笔，做一点有意思的事情。

7.杰出之所以杰出，是因为罕见，我们把自己连接于罕见，岂不冒险?既然大家都很普通，那么就不要鄙视世俗岁月、庸常岁序。不孤注一掷，不赌咒发誓，不祈求奇迹，不想入非非，只是平缓而负责地一天天走下去，走在记忆和向往的双向路途上，这样，平常中也就出现了滋味，出现了境界。

8.就人生而言，应平衡于山、水之间。水边给人喜悦，山地给人安慰。水边让我们感知世界无常，山地让我们领悟天地恒昌。水边让我们享受脱离长辈怀抱的远行刺激，山地让我们体验回归祖先居所的悠悠厚味。

9.第一根白发人人都会遇到，谁也无法讳避，因此这个悲剧似小实大，简直是天网恢恢，疏而不漏，而决斗、毒药和暗杀只是偶发性事件，这种偶发性事件能快速置人于死地，但第一根白发却把生命的起点和终点连成了一条绵长的逻辑线，人生的任何一段都与它相连。

10、谁也不要躲避和掩盖一些最质朴、最自然的人生课题如年龄问题。再高的职位，再多的财富，再大灾难，比之于韶华流逝、岁月沧桑、长幼对视、生死交错，都成了皮相。北雁长鸣，年迈的帝王和年迈的乞丐一起都听到了;寒山扫墓，长辈的泪滴和晚辈的泪滴却有不同的重量。

11、人格尊严的表现不仅仅是强硬。强硬只是人格的外层警卫。到了内层，人格的天地是清风明月，柔枝涟漪，细步款款，浅笑连连。

12、黄山谷说过：“人胸中久不用古今浇灌，则尘俗生其间，照镜觉面目可憎，对人亦语言无味。”这就是平庸的写照。如此好事，如果等到成年后再来匆匆弥补就有点可惜了，最好在青年时就进入。早一天，就多一份人生的精彩;迟一天，就多一天平庸的困扰。

13、再高的职位，再多的财富，再大灾难，比之于韶华流逝、岁月沧桑、长幼对视、生死交错，都成了皮相。北雁长鸣，年迈的帝王和年迈的乞丐一起都听到了;寒山扫墓，长辈的泪滴和晚辈的泪滴却有不同的重量。

14、人生不要光做加法。在人际交往上，经常减肥、排毒，才会轻轻松松地走以后的路。

15、几乎每一个改革探索者都遇到过嫉妒的侵扰，更不要说其中的成功者了。人们很容易对高出自己视线的一切存在投去不信任，在别人快速成功的背后寻找投机取巧的秘密。

关于文化

1.真正的文化精英是存在的，而且对国家社会非常重要。但是这些年来，由于伪精英的架势实在是太让人恶心了，结果连真的精英的名声也败坏了。真精英总是着眼于责任，伪精英总是忙着装扮;真精英总是努力地与民众沟通，伪精英总是努力地与民众划分，这就是最根本的区别。

2.凡是文化程度不高的群落，总是会对自己不懂的文化话语心存敬畏，正是这种敬畏心理被一些投机文人利用了。

3.在文化上，无效必然导致无聊，无聊又必然引来无耻。但是，即使到了这种“三无”的低谷，也不必过于沮丧。因为只有低谷，才能构成对新高峰的向往。

4.当今天下百业，文化最大。当今天下百行，文化届最小。那么，岂能再让一个日渐干涸的小池塘，担任江河湖海的形象代表?

5.古代绘画中无论是萧瑟的荒江、丛山中的苦旅，还是春光中的飞鸟、危崖上的雏鹰，只要是传世佳品，都会包藏着深厚的人生意识。贝多芬的交响曲，都是人生交响曲。

6.善良，这是一个最单纯的词汇，又是一个最复杂的词汇。它浅显到人人都能领会，又深奥到无人能够定义。它与人终生相伴，但人们却很少琢磨它、追问它。

7.社会理性使命已悄悄抽绎，秀丽山水间散落着才子、隐士，埋藏着身前的孤傲和身后的空名。天大的才华和郁愤，最后都化作供后人游玩的景点。

8.阅读的最大理由是想摆脱平庸，早一天就多一份人生的精彩;迟一天就多一天平庸的困扰。

9.为什么那么多中国民众突然对韩国的电视剧，对超女表现出那么单纯的投入，很重要的原因是，韩国艺术家不知道中国评论家，而超女根本不在乎评论家的存在。

10、一切美丽都是和谐的，因此总是浑然天成，典雅含蓄。反之，一切丑陋都是狞厉的，因此总是耀武扬威，嚣张霸道。如果没有审美公德的佑护，美永远战胜不了丑。

11、什么季节观什么景，什么时令赏什么花，这才完整和自然。如果故意地大颠大倒，就会把两头的况味都损害了。“暖冬”和“寒春”都不是正常的天象。

12、文明的人类总是热衷于考古，就是想把压缩在泥土里的历史扒剔出来，舒展开来，窥探自己先辈的种种真相。那么，考古也就是回乡，也就是探家。探视地面上的家乡往往会有岁月的唏嘘、难言的失落，使无数游子欲往而退;探视地底下的家乡就没有那么多心理障碍了，整个儿洋溢着历史的诗情、想像的愉悦。

13、我们的历史太长、权谋太深、兵法太多、黑箱太大、内幕太厚、口舌太贪、眼光太杂、预计太险，因此，对一切都“构思过度”。

14、中华文化的三大优点：一、不喜远征。中国人不会举一国之力去攻打远方之国。二、不喜极端。儒家讲究“中庸之道”，会努力寻找一个中间点，规避极端三、不喜无序。中国一直处于集权统治的状态中，习惯所有的事务都在管理之中，中国失控的时候是很少见的。

关于爱情

很多女孩子觉得责任感不太重要，男人没有责任感反而给了女方一种权利。其实对男人来说，还有什么比没有责任感可怕地呢?与没有责任感的男人谈恋爱，就像与朝雾和晚霞厮磨，再美好也没有着落。

爱情非常珍贵，不仅值得用斗争来保卫，而且即使付出生命的代价也值得。

其实，未经艰苦寻找的草率结合，对她也是不尊重。她和你一样，都有寻求深刻爱情的权利。

每一男女都处在自转之中，当一个男人最散发魅力的一面转向了一位女人，而这女人最美好的一面也刚好朝向了这个男人，那么爱情就挡也挡不住了。当然不是每个人都如此幸运，自转的方向和速度，相对于那个有可能出现或已经错过的异性，总要有偏差，所以老有人找不到自己的爱情。

2、能够慢慢培养的不是爱情，而是习惯。能够随着时间得到的，不是感情而是感动。所以爱是一瞬间的礼物，有就有，没有就没有。但反过来说，爱和婚姻实际并不是一回事情，并不是所有的爱情都要结婚的，也不是所有婚姻都有爱情的。

6、爱情里，总有一个主角和一个配角，累的永远是主角，伤的永远是配角;有时，爱也是种伤害：残忍的人，选择伤害别人，善良的人，选择伤害自己;人生就是一种承受，需要学会支撑。支撑事业，支撑家庭，甚至支撑起整个社会，有支撑就一定会有承受，支撑起多少重量，就要承受多大压力。

7、假如你想要一件东西，就放它走。它若能回来找你，就永远属于你;它若不回来，那根本就不是你的。爱情也是如此。

8、为什么把择定终身的职责，交付给半懂不懂的年岁;为什么把成熟的眼光，延误地出现在早已收获过的荒原?

9、说了那么多旳——“如若你不在，我等待你归来。”也比不过你一句——“我不会等，我去找你!”

关于友情

1.常听人说，人世间最纯净的友情只存在于孩童时代。这是一句极其悲凉的话，居然有那么多人赞成，人生之孤独和艰难，可想而知。我并不赞成这句话。孩童时代的友情只是愉快的嘻戏，成年人靠着回忆追加给它的东西很不真实。友情的真正意义产生于成年之后，它不可能在尚未获得意义之时便抵达最佳状态。

2.很多人都是在某次友情感受的突变中，猛然发现自己长大的。仿佛是哪一天的中午或傍晚，一位要好同学遇到的困难使你感到了一种不可推卸的责任，你放慢脚步忧思起来，开始懂得人生的重量。就在这一刻，你突然长大。

3.在人生的诸多荒诞中，首当其冲的便是友情的错位。友情的错位，来源于我们自身的混乱。

4.置身于同一个职业难道是友情的基础?当然不是。如果偶尔有之，也不能本末倒置。情感岂能依附于事功，友谊岂能从属于谋生，朋友岂能局限于同僚。

5.在家靠父母，出外靠朋友。这种说法既表明了朋友的重要，又表明了朋友的价值在于被依靠。但是，没有可靠的实用价值能不能成为朋友?一切帮助过你的人是不是都能算作朋友?

6.患难见知己，烈火炼真金。这又对友情提出了一种要求，盼望它在危难之际及时出现。能够出现当然很好，但友情不是应急的储备，朋友更不应该被故意地考验。

7.真正的友情不依靠什么。不依靠事业、祸福和身份，不依靠经历、方位和处境，它在本性上拒绝功利，拒绝归属，拒绝契约，它是独立人格之间的互相呼应和确认。它使人们独而不孤，互相解读自己存在的意义。因此所谓朋友也只不过是互相使对方活得更加自在的那些人。

8.真正的友情都应该具有“无所求” 的性质，一旦有所求，“求”也就成了目的，友情却转化为一种外在的装点。我认为，世间的友情至少有一半是被有所求败坏的，即便所求的内容乍一看并不是坏东西;让友情分担忧愁，让友情推进工作„„，友情成了忙忙碌碌的工具，那它自身又是什么呢?应该为友情卸除重担，也让朋友们轻松起来。朋友就是朋友，除此之外，无所求。

9.无所求的朋友最难得，不妨闭眼一试，把有所求的朋友一一删去，最后还剩几个?

10.真正的友情因为不企求什么不依靠什么，总是既纯净又脆弱。世间的一切孤独者也都遭遇过友情，只是不知鉴别和维护，一一破碎了。

11.“君子之交谈如水”，这种高明的说法包藏着一种机智的无奈，可惜后来一直被并无机智、只剩无奈的人群所套用。怕一切许诺无法兑现，于是不作许诺;怕一切欢晤无法延续，于是不作欢晤，只把微笑点头维系于影影绰绰之间。有人还曾经借用神秘的东方美学来支持这种态度：只可意会，不可言传;不着一字，尽得风流;羚羊挂角，无迹可寻„„这样一来，友情也就成了一种水墨写意，若有若无。但是，事情到了这个地步，友情和相识还有什么区别?

12.强者捆扎友情，雅者淡化友情，俗者粘贴友情，都是为了防范友情的破碎，但看来看去，没有一个是好办法。原因可能在于，这些办法都过分依赖技术性手段，而技术性手段一旦进入感情领域，总没有好结果。

13.万不能把防范友情的破碎当成一个目的。该破碎的让它破碎，毫不足惜;虽然没有破碎却发现与自己生命的高贵内质有严重羝牾，也要做破碎化处理。罗丹说，什么是雕塑?那就是在石料上去掉那些不要的东西。我们自身的雕塑，也要用力凿掉那些异己的、却以朋友名义贴附着的杂质。不凿掉，就没有一个像模像样的自己。

14.该破碎的友情常被我们捆扎、粘合着，而不该破碎的友情却又常常被我们捏碎了。两种情况都是悲剧，但不该破碎的友情是那么珍贵，它居然被我们亲手捏碎，这对人类良知的打击几乎是致命的。

15.其实，世上哪有两片完全相同的树叶，即便这两片树叶贴得很紧?本有差异却没有差异准备，都把差异当作了背叛，夸张其词地要求对方纠正。这是一种双方的委屈，友情的回忆又使这种委屈增加了重量。负荷着这样的重量不可能再来纠正自己，双方都怒气冲天地走上了不归路。凡是重友情、讲正气的人都会产生这种怒气，而只有小人才是不会愤怒的一群，因此正人君子们一旦落入这种心理陷阱往往很难跳得出来。高贵的灵魂吞咽着说不出口的细小原因在陷阱里挣扎。

16.友情好像是一台魔力无边的红外线探测仪，能把一切隐藏的角落照个明明白白。不明不白也不要紧，理解就是一切，朋友总能理解，不理解还算朋友?但是，当误会无可避免地终于产生时，原先的不明不白全都成了疑点，这对被疑的一方而言无异是冤案加身;申诉无门，他的表现一定异常，异常的表现只能引起更大的怀疑，互相的友情立即变得难于收拾。

17.友情本是超越障碍的翅膀，但它自身也会背负障碍的沉重，因此，它在轻松人类的时候也在轻松自己，净化人类的时候也在净化自己。其结果应该是两相完满：当人类在最深刻地享受友情时，友情本身也获得最充分的实现。

18.现在，即便我们拥有不少友情，它也还是残缺的，原因在于我们自身还残缺。世界理应给我们更多的爱，我们理应给世界更多的爱，这在青年时代是一种小心翼翼的企盼，到了生命的秋季，仍然是一种小心翼翼的企盼。但是，秋季毕竟是秋季，生命已承受霜降，企盼已洒上寒露，友情的渴望灿如枫叶，却也已开始飘落。