高中数学人教A版(2019)必修第一册知识点总结

高中数学新教材必修第一册知识点总结

第一章 集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.

2.集合的三个特性：

（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.

（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.

（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.

3.集合中元素的三个特性：

（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.

（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.

（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.

4.集合的符号表示

通常用大写的字母A，B，C，…表示集合，用小写的字母a，b，c表示集合中的元素.

5.集合的相等

当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合A与集合B相等记作AB.

6.元素与集合之间的关系

（1）属于：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作aA，读作a属于A.

（2）不属于:如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA，读作a不属于A.

7.集合的分类

（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程x21的实数根组成的集合.

（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式x10的解组成的集合.

8.常用数集及其记法

（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作N*或N.

（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N.

（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z.

（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q.

（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R.

9.集合表示的方法

（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.

（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元

1

素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(x1)(x2)0的所有实数根”组成的集合表示为{1,2}.

（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为{xp(x)}，其中x是集合中的元素代表，p(x)则表示集合中的元素所具有的共同特征.

例如，不等式x73的解集可以表示为

{xRx73}{xRx10}.

1.2集合间的基本关系

1. 子集

一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记为

AB或（BA）

读作集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）.

集合A是集合B的子集可用Venn图表示如下：

A(B) 或

关于子集有下面的两个性质：

（1）反身性：AA；

（2）传递性：如果AB，且BC，那么AC.

2.真子集

如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A

是集合B的真子集，记为



A，

B（或BA）读作集合A真包含于集合B（或集合B真包含集合A）.

集合A是集合B的真子集可用Venn图表示如右.

3.集合的相等

如果集合AB，且BA，此时集合A与集合B的元素是

一样的，我们就称集合A与集合B相等，记为

AB.

集合A与集合B相等可用Venn图表示如右.

4.空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一

BAA(B)2

个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即

（1）A（A是任意一个集合）；

（2）A（A）.

1.3集合的运算

1.并集

自然语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB（读作“A并B”）.

符号语言：

AB{xxA,或xB}.

图形语言：

ABAB(1)A与B有公共元素，相互不包含(2)A与B没有有公共元素BAABA ( B )（3）AB(4) BA(5) A =B

理解：xA或xB包括三种情况：xA且xB；xB且xA；xA且xB.

并集的性质：

（1）ABBA；

（2）AAA；

（3）AA；

（4）(AB)CA(BC)；

（5）AAB，BAB；

（6）ABBAB.

2.交集

自然语言：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB（读作“A交B”）.

符号语言：

AB{xxA,且xB}.

图形语言：

3

A BAB（1）A与B有公共元素，且互不包含（2）A与B没有公共元素,A B=

BAABA(B)(3)A B,A B=A(4)B A,A B=B

(5)A=B,A B=A=B

理解：当A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说A与B的交集是.

交集的性质：

（1）ABBA；

（2）AAA；

（3）A；

（4）(AB)CA(BC)；

（5）ABA，ABB；

（6）ABAAB.

3.补集

（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

（2）补集的概念

自然语言：对于一个集合A，由属于全集U且不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记为符号语言：

图形语言：

UUA.

A{xxU,且xA}

A4

补集的性质

（1）A(（2）A(（3）(（4）(UUA)；

A)U；

UUA)(UB)A)(UB)(AB)；

(AB).

UU1.4充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作

pq，

并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.

在生活中，

q是p成立的必要条件也可以说成是:

qp（q表示q不成立），其实，这与pq是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.

如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p/q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.

2.充要条件

如果“若p，则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题，即既有pq，又有qp就记作

pq.

此时，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件.

“p是q的充要条件”,也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等.

1.5全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

（1）全称量词

短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

全称量词命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为

xM，p(x)，

读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.

（2）存在量词

短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

”表示.常见5

存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为

xM，p(x)，

读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”.

2.全称量词命题和存在量词命题的否定

（1）全称量词命题的否定

全称量词命题：

xM，p(x)，

它的否定：

xM，p(x).

全称量词命题的否定是存在量词命题.

（2）存在量词命题的否定

存在量词命题：

xM，p(x)，

它的否定：

xM，p(x).

存在量词命题的否定是全称量词命题.

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

1.比较原理

abab0；

abab0；

abab0.

2.等式的基本性质

性质1 如果ab，那么ba；

性质2 如果ab，bc，那么ac；

性质3 如果ab，那么acbc；

性质4 如果ab，那么acbc；

性质5 如果ab，c0，那么ab.

cc3.不等式的基本性质

性质1 如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即

abba

性质2 如果ab，bc，那么ac.即

ab，bcac.

性质3 如果ab，那么acbc.

6

由性质3可得，

abcab(b)c(b)acb.

这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.

性质4 如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc.

性质5 如果ab，cd，那么acbd.

性质6 如果ab0，cd0，那么acbd.

性质7 如果ab0，那么ab（nN，n2）.

nn2.2 基本不等式

1.重要不等式

a,bR，有

a2b22ab，

当且仅当ab时，等号成立.

2.基本不等式

如果a0，b0，则

ab当且仅当ab时，等号成立.

ab，

2ab叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式表明：2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3.与基本不等式相关的不等式

（1）当a,bR时，有

abab，

2当且仅当ab时，等号成立.

（2）当a0，b0时，有

2211ab当且仅当ab时，等号成立.

（3）当a,bR时，有

ab，

22abab，

222当且仅当ab时，等号成立.

4.利用基本不等式求最值

7

已知x0，y0，那么

（1）如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2P；

（2）如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值12S.

42.3 二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

(a0)

二次函数

0

0

0

yyyyax2bxc

（a0）的图象

x1Ox2x

一元二次方程

有两相异实根

Ox1=x2xOx

有两相等实根

ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集

x1,x2(x1x2)

b

x1x22a无实根

xxx或xx

12bxx

2a



R

xx1xx2



第三章 函数的概念与性质

3.1 函数的概念及其表示

1.函数的概念

设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的的数y和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作

yf(x),xA.

8

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集.

2.区间：

设a,b是两个实数，而且ab，我们规定：

（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

（3）满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：[a,b) ,

(a,b] .

这里的实数a，b都叫做相应区间的端点.

这些区间的几何表示如下表所示.

定义 名称 符号 数轴表示

{xaxb}

闭 区 间

[a,b]

abx

{xaxb}

开 区 间

(a,b)

abx

{xaxb}

半开半闭区间

[a,b)

abx

{xaxb}

半开半闭区间

(a,b]

abx

（4）实数集R可以表示为(,),“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”

读作“正无穷大”.

满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合，用区间分别表示为[a,) ，(a,)

(,b]，(,b).

这些区间的几何表示如下表所示.

定义 符号 数轴表示

{xx}

{xxa}

{xxa}

{xxb}

(,)

[a,)

(a,)

(,b]

0x

aabxxx

9

{xxb}

(,b)

bx

注意：

（1）“”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.

（2）以“”或“”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.

3.函数的三要素

（1）定义域；

（2）对应关系；

（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.

4.函数的相等

如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.

5.函数的表示方法

（1）解析法

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.

解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.

（2）图象法

用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.

图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.

说明：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数的定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数yf(x)的图象.函数yf(x)的图象在x轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在y轴上的射影构成的集合就是函数的值域.

函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.

（3）列表法

通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.

6.分段函数

（1）分段函数的概念

有些函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如

2x,x0,x,x0,（1）f(x)x ， （2）f(x)2.

x,x0x,x0说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.

②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.

10

③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.

④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.

（2）分段函数的图象

分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分

段函数的图象.

3.2 函数的基本性质

函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.

1.单调性与最大（小）值

（1）增函数

x2D，设函数f(x)的定义域为I,区间DI.如果x1，当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

yy=f(x) f(x1)Ox1 f(x2)x2xOyy=f(x) f(x1)x1 f(x2)x2x（2）减函数

x2D，设函数f(x)的定义域为I，区间DI.如果x1，当x1x2时，都有f(x1)f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

（3）单调性、单调区间、单调函数

如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间.

如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.

（4）证明函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：

①设值：设x1,x2D，且

x1x2；

11

②作差：f(x1)f(x2) ；

③变形：对f(x1)f(x2)变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底；

④判断符号，得出函数的单调性.

（5）函数的最大值与最小值

①最大值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足:

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；

（2）存在x0I，使得f(x0)M.

那么我们称M是函数yf(x)的最大值.

②最小值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足:

（1）对于任意的xI，都有f(x)m；

（2）存在x0I，使得f(x0)m.

那么我们称m是函数yf(x)的最小值.

2.奇偶性

（1）偶函数

设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.

关于偶函数有下面的结论：

①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；

②偶函数的图象关于y轴对称.反之也成立；

③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.

（2）奇函数

设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.

关于奇函数有下面的结论：

①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；

②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；

③如果奇函数当x0时有意义，那么f(0)0.即当x0有意义时，奇函数的图象过坐标原点；

12

④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.

3.3幂函数

1.幂函数的概念

一般地，形如yx（R，为常数）的函数称为幂函数.

对于幂函数，我们只研究1，2，3，2.五个幂函数的图象和性质

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

1，1时的图象与性质.

2yy=x32y=xy=x1y=x2-11O1-1y=x-1xyx

yx2

yx3

yx

12yx1

R

R

[0,+)

偶函数

在(,0]上递减

在[0,+)上递增

R

R

奇函数

增函数

[0,+)

[0,+)

非奇非偶

增函数

(,0)(0,+)

(,0)(0,+)

奇函数

在(,0），（0,+)上递减

R

奇函数

增函数

(1,1)

3.4函数的应用（一）

略.

第四章 指数函数与对数函数

4.1 指数

1.n次方根与分数指数幂

（1）方根

如果xa，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.

na的n方根用符号na①当n是奇数时，正数的n次方根是正数，负数的n方根是负数.这时，表示.

②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示. 正的n次方根与负的n次方根可以合

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并写成na（a0）.

负数没有偶次方根.

0的任何次方根都是0，记作n00.

式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

关于根式有下面两个等式：

(na)na；

na,n为奇数a.

a,n为偶数.n2.分数指数幂

（1）正分数指数幂

annam（a0，m，nN*，n1）.

0的正分数指数幂等于0（2）负分数指数幂

.

mamn1amn=1nam（a0，m，nN*，n1）.

0的负分数指数幂没有意义.

（3）有理数指数幂的运算性质

①aaarsrrsrsrsr（a0，r，sQ）；

r②(a)a（a0，r，sQ）；

③(ab)ab（a0，b0，rQ）.

3. 无理数指数幂及其运算性质

（1）无理数指数幂的概念

当x是无理数时，a是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当xxa和a都趋向于同一个数，的不足近似值m和过剩近似值n逐渐逼近x时，这个数就是a.所以无理数指数幂a（a0，x是无理数）是一个确定的数.

（2）实数指数幂的运算性质

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质.

①aaarsrmnxxrsrsrsr（a0，r，sR）；

r②(a)a（a0，r，sR）；

③(ab)ab（a0，b0，rR）.

4.2 指数函数

1.指数函数的概念

函数ya（a0，且a1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

2.指数函数的图象和性质

一般地，指数函数ya（a0，且a1）的图象和性质如下表所示：

xx14

0a1

yy = a

x(0,1)a1

yy = a

x(0,1)图 象

y = 1xy = 1OOx

定义域

值 域

R

(0,)

（1）过定点(0,1)，即x0时，y1

性 质

（2）在R上是减函数

（2）在R上是增函数

4.3 对数

1.对数的概念

一般地，如果aN(a0,a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作

xxlogaN.

其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

x当a0，且a1时，aNxlogaN.

2. 两个重要的对数

（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.

（2）自然对数：以e（e是无理数，e2.71828…）为底的对数叫做自然对数，并把logeN记作lnN.

3. 关于对数的几个结论

（1）负数和0没有对数；

（2）loga10；

（3）logaa1.

4. 对数的运算

如果a0，且a1，M0，N0，那么

（1）loga(MN)logaMlogaN；

（2）logaMlogaMlogaN；

N

15

n（3）logaMnlogaM（nR）.

5. 换底公式

logblogablogca（a0，且a1，b0，c0，c1）.

c4.4 对数函数

1. 对数函数的概念

一般地，函数ylogax（a0，且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,).

2.对数函数的图象和性质

0a1

a1

yy

x = 1x = 1

图

y = logax

(1,0)

xxO(1,0)O

象

y = logax

定

(0,)

义

域

值R

域

（1）过定点(1,0)，即当x1时，y0.

性

质

（2）增函数 （2）减函数

3. 反函数

指数函数ya（a0，且a1）与对数函数ylogax（a0，且a1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.

互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称.

4. 不同函数增长的差异

对于对数函数ylogax（a1）、一次函数ykx（k0）、指数函数yb（b1）来说，尽管它们在(0,)上都是增函数，但是随着x的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数ylogax（a1）的增长速度越来越慢；一次函数ykx（k0）增长

xx16

的速度始终不变；指数函数yb（b1）增长的速度越来越快.总之来说，不管a（a1），x，b（b1）的大小关系如何，yb（b1）的增长速度最终都会大大超过k（k0）xykx（k0）的增长速度；ykx（k0）的增长速度最终都会大大超过ylogax（a1）的增长速度.因此，总会存在一个x0，当xx0时，恒有

bxkxlogax.

4.5 函数的应用（二）

1. 函数的零点与方程的解

（1）函数零点的概念

对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.

函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数解，也是函数yf(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以

方程f(x)0有实数解

函数yf(x)有零点

函数yf(x)的图象与x轴有公共点.

（2）函数零点存在定理

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解.

2. 用二分法求方程的近似解

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

给定精确度，用二分法求函数yf(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：

（1）确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)0.

（2）求区间(a,b)的中点c.

（3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

17

①若f(c)0（此时x0c），则c就是函数的零点；

②若f(a)f(c)0（此时x0(a,c)），则令bc；

③若f(c)f(b)0（此时x0(c,b)），则令ac.

（4）判断是否达到精确度：若ab，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）.

由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.

3. 函数模型的应用

用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：

实际问题化归函数模型运算推理实际问题的解解释说明函数模型的解

这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.

第五章 三角函数

5.1 任意角和弧度制

1.任意角

B（1）角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从

一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

AO射线的端点叫做角的顶点，射线在起始

位置和终止位置分别叫做角的始边和终边.

（2）正角、负角、零角

按逆时针方向旋转所成的角叫正角；

按顺时针方向旋转所成的角叫负角；

一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.

这样，我们就把角的概念推广到了任意角.

（3）象限角

当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.

（4）终边相同的角

18

所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

S|k360,kZ

即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.

终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；

终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍；

象限角的表示：

第一象限角的集合

|k36090k360,kZ

第二象限角的集合

|90k360180k360,kZ

第三象限角的集合

|180k360270k360,kZ

第四象限角的集合

|270k360360k360,kZ

终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.

位 置

终边在x轴非负半轴

终边在x轴非正半轴

终边在x轴

终边在y轴非负半轴

终边在y轴非正半轴

终边在y轴

终边在坐标轴

表 示

{k360,kZ}

{180+k360,kZ}

{k180,kZ}

{90+k360,kZ}

{270+k360,kZ}

{90k180,kZ}

{k90,kZ}

2. 弧度制

（1）弧度的概念

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么

l.

r正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

（2）弧度与角度的换算

19

π1° = rad ≈ 0.01745rad180180° = π rad1rad =

（3）关于扇形的几个公式

设扇形的圆心角为（rad），半径为R，弧长为l，则有

①lR； ②S180π° ≈ 57.3°

11R2； ③SlR.

225.2 三角函数的概念

1. 三角函数的概念

（1）三角函数的定义

一般地，任意给定一个角R，它的终边OP

与单位圆相交于点P(x,y).

P(x,y)y把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作

αOA(1,0)xsin，即

ysin；

把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作

cos，即

xcos；

把点P的纵坐标与横坐标的比值y叫做的正切函数，记作tan，即

xytan（x0）.

x正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数

ysin，xR；

余弦函数

ycos，xR；

正切函数

ytan，xyαOP(x,y)x2k（kZ）.

设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点

重合）的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r可以证明：

x2y2.

20

y；

rxcos；

rytan.

xsin（2）几个特殊角的三角函数值

0，3，，的三角函数值如下表所示：

22





0

函 数

2sin

0

1

cos



0

3

21

0

不存在

1

0

0

不存在

1

0

tan

（3）三角函数值的符号

y+O

sinα（4）诱导公式（一）

终边相同的角的同一三角函数值相等.

y+x

cosα

O++x+

Oy+x

tanα

sin(k2)sin，

cos(k2)cos，

tan(k2)tan，

其中kZ.

2. 同角三角函数间的基本关系

（1）平方关系

sin2cos21.

（2）商数关系

tansin.

cos作用：

（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；

21

（2）化简三角函数式；

（3）证明三角函数恒等式.

5.3 诱导公式

1. 公式二

sin()sin，

cos()cos，

tan()tan.

2. 公式三

sin()sin，

cos()cos，

tan()tan.

3. 公式四

sin()sin，

cos()cos，

tan()tan.

小结：

（1）k2（kZ），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号.

（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：

任意负角的三角函数用公式三或一任意正角的三角函数用公式一锐角的三角函数4. 公式五

用公式二或四02π的角的三角函数

sin()cos，

2cos()sin.

25. 公式六



22

sin()cos，

2cos()sin.

2小结：

2，2，等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角的正弦（余弦）函数值的符号.

5.4 三角函数的图象与性质

1.正弦函数、余弦函数的图象

（1）正弦函数ysinx的图象.

①画点T(x0,sinx0)

在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，O与x轴正半轴的交点为A(1,0).在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0sinx0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0,sinx0).

y1BT(x0,sinx0)y0x0O-1Aπ2Mx0π3π22πx

② 画ysinx（x[0,2]）的图象

把x轴上从0到2这一段分成12等份，使x0的值分别为0，，，，…，2，它632们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等份，再按上述画点T(x0,sinx0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得ysinx（x[0,2]）的图象.

23

y1O-1π6Aπ3π22π35π6π7π64π33π25π311π62πx

③ysinx（xR）的图象

sinx，x[2k,2(k1))，kZ且k0的图象，与函由诱导公式一可知，函数y数ysinx，x[0,2)的图象形状完全一样.因此将函数ysinx，x[0,2)的图象不sinx，xR的断向左、向右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数

y图象（如下图）.

y1-4π-7π2y = sinx , xπ2R3π7π2-3π-5π2-2π-3π2-π-π2O-1π3π22π5π24πx

正弦函数的图象叫做正弦曲线.

④五点作图法

在函数ysinx，x[0,2]的图象上，有以下五个关键点：

3(0,0)，(,1)，(,0)，(,1)，(2,0).

22画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图.这种作图的方法称为”五点作图法”.

（2）余弦函数的图象

因为ycosxsin(x2)，所以可将正弦函数ysinx，xR的图象向左平移个单2位长度即得余弦函数ycosx，xR的图象.

yy = cosx,xR-4π7π213π2y = sinx , xRπ2--3π-5π2-2π--π-π2O-1π3π22π5π23π7π24πx

24

余弦函数ycosx，xR的图象叫做余弦曲线.

余弦函数ycosx，x[,]的图象上五个关键点是：(,1)，(2,0)，(0,1)，(,0)，(,1).

22. 正弦函数、余弦函数的性质

（1）周期性

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(xT)f(x)，

那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

正弦函数是周期函数，2k（kZ且k0）都是它的周期，最小正周期是2.

余弦函数也是周期函数，2k（kZ且k0）都是它的周期，最小正周期是2.

（2） 奇偶性

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

（3）单调性

2k，2k]（kZ）上都单调递增，223其值从1增大到1；在每一个闭区间[2k，2k]（kZ）上都单调递减，其值22从1减小到1.

正弦函数ysinx，xR在每一个闭区间[余弦函数ycosx，xR在每一个闭区间[2k,2k]（kZ）上都单调递增，其值从1增大到1；在每一个闭区间[2k,2k]（kZ）上都单调递减，其值从1减小到1.

（4）最大值与最小值

正弦函数当且仅当x2时取得最大值1，当且仅当x2k（kZ）32k（kZ）2时取得最小值1.

余弦函数当且仅当x2k（kZ）时取得最大值1，当且仅当x2k（kZ）时取得最小值1.

3.正切函数的图象

25

y-5ππ1π3π2-32-π222-2π-ππ2π-1O正切函数的图象叫做正切曲线.

4.正切函数的性质

（1）定义域

正切函数的定义域为{xx2k,kZ}

（2）周期性

正切函数是周期函数，最小正周期是.

（3）奇偶性

正切函数是奇函数.

（4）单调性

正切函数在每一个开区间(2k,2k)（kZ）上都单调递增.

（5）值域

正切函数的值域是实数集R.

5.5三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）和角公式

sin()sincoscossin（S()），

cos()coscossinsin（C()），tan()tantan1tantan（T()）.

（2）差角公式

sin()sincoscossin（S()），

cos()coscossinsin（C()），

26

5π2x

tan()2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式

tantan（T()）.

1tantan，

sin22sincos（S2）cos2cos2sin2

12sin2

2cos21（C2），

tan23. 降幂公式

2tan（T2）

1tan21cos2，

21cos2，

cos221

sincossin2.

2sin24. 半角公式

sin21cos，

21cos，

21cos.

1coscos2tan其中，符号由2所在象限决定.

2asinxbcosxa2b2sin(x)，

5. 辅助角公式

其中

cosaabbab2222，

sin.

叫做辅助角，的终边过点P(a,b).

27

5.6 函数yAsin(x)

1.

yAsin(x)（A0，0）的图象

（1）变换法作yAsin(x)（A0，0）的图象

yAsin(x)（A0，0）的图象，可以用下面的方法得到：

①画出函数ysinx的图象；

②把ysinx的图象向左（0）或向右（0）平移个单位长度，得到函数ysin(x)的图象；

③把ysin(x)图象上各点的横坐标变为原来的1倍（纵坐标不变），得到函数ysin(x)的图象；

④把ysin(x)图象上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），得到函数yAsin(x)的图象.

（2）“五点作图法”作yAsin(x)（A0，0）的图象

例题：用“五点作图法”画函数y2sin(3x解：令X3x①列表：

6)在一个周期内的图象.

6，则x1(X).

36X

x

0

18



22

92



7

183

25

92

13

18y

0

0

2

y210

27513,2)，(,0)，(,2)，(,0). ②描点：(,0)，(18918918③连线：用光滑的曲线把上面的五个点连接起来，即得函数

y2sin(3x)在一个周期内的简图.

6

O-12π7π5π13π18918918πx-228

2.

yAsin(x)（A0，0）的性质

（1）周期性

yAsin(x)是周期函数，最小正周期为T（2）奇偶性

2.

当k（kZ）时，yAsin(x)是奇函数；当2k（kZ）时yAsin(x)是偶函数；当k（kZ）且yAsin(x)既不是奇函数也不是偶函数.

（3）单调性

2k（kZ）时，在每一个区间[22k，22k]（kZ）上都单调递增；在每一个区间[22k，32k2]（kZ）上都单调递减.

32k2（4）最大值与最小值

当x22k（kZ）时取得最大值A；当x（kZ）时取得最小值A.

（5）对称轴

x（6）对称中心

2k（kZ）.

,0)（kZ）.

(k5.7 三角函数的应用

在物理中，yAsin(x)（A0，0，x[0,)）可以表示一个简谐运动.

A是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；

2T是这个简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间；

1f是这个简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次T2数；

x称为相位；x0时的相位称为初相.

29