幂函数、指数函数和对数函数 对数及其运算法则 教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案

教学目标

1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．

2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．

3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．

教学重点与难点

重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导．

教学过程设计

师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？

生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．

师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．

师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？

师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程

1.072x=4．

我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．

师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作

logaN=b，

其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．

师：请同学谈谈对对数这个定义的认识．

生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法．

生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．

（此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．）

师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开

记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．

师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯）

指数式

对数式

式子

ab=N

logaN=b

名称

a

b

N

练习1 把下列指数式写成对数形式：

练习2 把下列对数形式写成指数形式：

1

练习3 求下列各式的值：

（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）

因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．

因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．

（注意纠正学生的错误读法和写法．）

师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？

生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．

师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）

生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．

师：要特别强调的是：零和负数没有对数．

师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？

（根据本班情况决定是否设置此问．）

生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．

（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ab=N出发回答较为简单．）

师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．

师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．

练习4 计算下列对数：

lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125．

师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．

生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．

生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．

生：10lg105=105．

生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．

师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式．

师：（板书）

alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）

（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）

（学生讨论，并口答．）

生：（板书）

证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N．

师：你是根据什么证明对数恒等式的？

生：根据对数定义．

师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式， 2

从而转化成对数等式，再进行证明．

师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．

生：a＞0，a≠1，N＞0．

师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．

（给学生一分钟时间．）

师：（板书）2log28=？2log42=？

生：2log28=8；2log42=2．

师：第2题对吗？错在哪儿？

师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？

（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）

生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式

alogaN=N．

（师用红笔在两处a上重重地描写．）

师：最后说说对数恒等式的作用是什么？

生：化简！

师：请打开书74页，做练习4．

（生口答．略）

师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．

师：负数和零有没有对数？并说明理由．

生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b=logaN可以看到，负数和零没有对数．

师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数．

师：（板书）性质1：负数和零没有对数．

师：1的对数是多少？

生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．

师：（板书）1的对数是零．

师；底数的对数等于多少？

生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．

师：（板书）底数的对数等于1．

师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．

师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．

生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=am-n．还有（am）n=amn；

师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）

（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即

loga（MN）=logaM+logaN．

（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）

3

师：（分析）我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式．

师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以

M·N=ap·aq=ap+q，

所以 loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．

即 loga（MN）=logaM+logaN．

师：这个法则的适用条件是什么？

生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．

师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．

生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．

师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？

生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．

师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．

师：（板书）log62+log63=？

生：log62+log63=log6（2×3）=1．

师：正确．由此例我们又得到什么启示？

生：这是法则从右往左的使用．是升级运算．

师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！

师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．

师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．

（给学生三分钟讨论时间．）

生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以

师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？

生：（板书）

师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．

师：法则（2）的适用条件是什么？

生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．

师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．

生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．

4

师：（板书）lg20-lg2=？

师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．

师：（板书）

例1 计算：

生：（板书）

解

（1）log93+log927=log93×27=log981=2；

（3）log2（4+4）=log24+log24=4；

（由学生判对错，并说明理由．）

生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）

生：第（3）题错！法则（1）的内容是：

生：第（4）题错！法则（2）的内容是：

师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？

生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．

5

师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即

loga（N）n=n·logaN．

师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证

Nn=an·logaN=（a·logaN）n，

只需证 N=alogaN．

由对数恒等式，这是显然成立的．

师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有

N=alogaN．

所以 Nn=（alogaN）n=an·logaN．

根据对数的定义有

loga（N）n=n·logaN．

师：法则（3）的适用条件是什么？

生：a＞0，a≠1；N＞0．

师：观察式子结构特点并加以记忆．

生：从左往右仍然是降级运算．

师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．

（找一好一差两名学生板书．）

错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．

正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．

（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）

师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即

师：法则（4）的适用条件是什么？

生：a＞0，a≠1；N＞0．

师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）

例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：

（生板书）

解

6

（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）

（师板书）

例3 计算：

（生板书）

解

（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．

师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容．

作业 课本P78．习题第1，2，3，4题．

课堂教学设计说明

本节的教学过程是：

1．从实际问题引入，给出对数定义；

2．深刻认识对数定义；

3．对数式与指数式的互化；

4．对数恒等式alogaN=N；

5．对数的性质；

6．对数运算法则；

7．例题·小结·作业．

通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究）；如何学习公式或法则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究）．针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法．

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