OTFS调制

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OTFS调制

#调制框图
主要分为三个部分：前导处理,TF调制，后处理。

其中 x [ k , l ] x[k,l] x[k,l]是定义在时延多普勒域的信号。 X [ n , m ] X[n,m] X[n,m]是时频域的数据调制符号：
ISFFT:
X p [ n , m ] = 1 M N ∑ k = 0 N − 1 ∑ l = 0 M − 1 x [ k , l ] e j 2 π ( n k N − m l M ) (1) X_p[n,m]=\frac{1}{MN}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{M-1}x[k,l]e^{j2\pi(\frac{nk}N{-\frac{ml}{M}})}\tag1 Xp​[n,m]=MN1​k=0∑N−1​l=0∑M−1​x[k,l]ej2π(Nnk​−Mml​)(1)
X p [ n , m ] 是 X [ n , m ] 的 周 期 延 拓 X_p[n,m]是X[n,m]的周期延拓 Xp​[n,m]是X[n,m]的周期延拓
从（1）可以看出每一个调制符号都由一个二维正交基函数扩展到时频域上，即 OTFS 可看
作一种时频二维扩展技术，同时可以发现，ISFFT 可以通过对 DD 域信号矩阵的列和行分别
进行 M 点离散傅里叶变换DFT和 N 点逆离散傅里叶变换IDFT实现。
transmit windowing:
X [ n , m ] = W t x [ n , m ] S F F T − 1 ( x [ k , l ] ) (2) X[n,m]=W_{tx}[n,m]SFFT^{-1}(x[k,l])\tag2 X[n,m]=Wtx​[n,m]SFFT−1(x[k,l])(2)
W t x [ n , m ] W_{tx}[n,m] Wtx​[n,m]是传输窗的平方和函数
海森堡变换：
目的是将时频域的信号变换到时域：
x ( t ) = ∑ n = 0 N − 1 ∑ m = 0 M − 1 X [ n , m ] φ t x ( t − n T ) e j 2 π m Δ f ( t − n T ) x(t)=\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{M-1}X[n,m]\varphi_{tx}(t-nT)e^{j2\pi m\Delta f(t-nT) } x(t)=n=0∑N−1​m=0∑M−1​X[n,m]φtx​(t−nT)ej2πmΔf(t−nT)
其中若成型滤波器函数 φ t x ( t − n T ) \varphi_{tx}(t-nT) φtx​(t−nT)是一个理想矩形窗函数，则海森堡变换退化成IDFT变换
信道：
x ( t ) → y ( t ) x(t)\rightarrow y(t) x(t)→y(t):
y ( t ) = ∫ υ ∫ τ h ( τ , υ ) x ( t − τ ) e j 2 π υ ( t − τ ) d τ d υ y(t)=\int_\upsilon\int_\tau h(\tau,\upsilon)x(t-\tau)e^{j2\pi\upsilon(t-\tau)}d\tau d\upsilon y(t)=∫υ​∫τ​h(τ,υ)x(t−τ)ej2πυ(t−τ)dτdυ
魏格纳变换：
将接收信号从时域转换到时频域：
Y [ n , m ] = ∫ φ r x ∗ ( t − τ ) y ( t ) e − j 2 π υ ( t − τ ) d t Y[n,m]=\int\varphi_{rx}^*(t-\tau)y(t)e^{-j2\pi \upsilon (t-\tau)}dt Y[n,m]=∫φrx∗​(t−τ)y(t)e−j2πυ(t−τ)dt

TF调制
X [ n , m ] → Y [ n , m ] X[n,m]\rightarrow Y[n,m] X[n,m]→Y[n,m]:
Y [ n , m ] = H [ n , m ] X [ n , m ] + V [ n , m ] Y[n,m]=H[n,m]X[n,m]+V[n,m] Y[n,m]=H[n,m]X[n,m]+V[n,m]
H [ n , m ] = ∫ υ ∫ τ h ( τ , υ ) x ( t − τ ) e j 2 π υ n T e − j 2 π ( υ + m Δ f ) τ d υ d τ H[n,m]=\int_\upsilon\int_\tau h(\tau,\upsilon)x(t-\tau)e^{j2\pi \upsilon nT}e^{-j2\pi (\upsilon+m\Delta f)\tau}d\upsilon d\tau H[n,m]=∫υ​∫τ​h(τ,υ)x(t−τ)ej2πυnTe−j2π(υ+mΔf)τdυdτ
其中 V [ n , m ] V[n,m] V[n,m]是噪声

Receive windowing：
Y W [ n , m ] = W r x [ n , m ] Y [ n , m ] Y_W[n,m]=W_{rx}[n,m]Y[n,m] YW​[n,m]=Wrx​[n,m]Y[n,m]
Y P [ n , m ] = ∑ k , l = − ∞ + ∞ Y W [ n − k N , m − l M ] Y_P[n,m]=\sum_{k,l=-\infin}^{+\infin}Y_W[n-kN,m-lM] YP​[n,m]=k,l=−∞∑+∞​YW​[n−kN,m−lM]
先加窗，再做周期延拓
SFFT:
x ^ [ k , l ] = ∑ n = 0 N − 1 ∑ m = 0 M − 1 Y P [ n , m ] e − j 2 π ( n k N − m l M ) \hat{x}[k,l]=\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{M-1}Y_P[n,m]e^{-j2\pi (\frac{nk}{N}-\frac{ml}{M})} x^[k,l]=n=0∑N−1​m=0∑M−1​YP​[n,m]e−j2π(Nnk​−Mml​)

经过一系列推导得出：
在这里插入图片描述
x ^ [ k , l ] = 1 M N ∑ m = 0 M − 1 ∑ n = 0 N − 1 x [ n , m ] h w ( k − n N T , l − m M Δ f ) \hat{x}[k,l]=\frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}x[n,m]h_w(\frac{k-n}{NT},\frac{l-m}{M\Delta f}) x^[k,l]=MN1​m=0∑M−1​n=0∑N−1​x[n,m]hw​(NTk−n​,MΔfl−m​)
其中：
h w ( k − n N T , l − m M Δ f ) = h w ( υ ′ , τ ′ ) ∣ υ ′ = k − n N T , τ ′ = l − m M Δ f h_w(\frac{k-n}{NT},\frac{l-m}{M\Delta f})=h_w(\upsilon ^{'},\tau^{'})\mid_{\upsilon ^{'}=\frac{k-n}{NT},\tau^{'}=\frac{l-m}{M\Delta f}} hw​(NTk−n​,MΔfl−m​)=hw​(υ′,τ′)∣υ′=NTk−n​,τ′=MΔfl−m​​
h w ( υ ′ , τ ′ ) = ∬ h ( τ , υ ) w ( υ ′ − υ , τ ′ − τ ) e − j 2 π υ τ d τ d υ h_w(\upsilon ^{'},\tau^{'})=\iint h(\tau,\upsilon)w(\upsilon^{'}-\upsilon,\tau^{'}-\tau)e^{-j2\pi \upsilon\tau}d\tau d\upsilon hw​(υ′,τ′)=∬h(τ,υ)w(υ′−υ,τ′−τ)e−j2πυτdτdυ
我们发现 k , l k,l k,l ， x ^ [ k , l ] ，\hat{x}[k,l] ，x^[k,l]中的都有 x [ n , m ] h w ( 0 , 0 ) x[n,m]h_w(0,0) x[n,m]hw​(0,0)这一项，其他项则是符号间干扰。当延迟多普勒窗函数三者满足一切条件时，有：
x ^ [ k , l ] = x [ k , l ] h w ( 0 , 0 ) \hat{x}[k,l]=x[k,l]h_w(0,0) x^[k,l]=x[k,l]hw​(0,0)
这说明了所有发送符号，都可以视为经历了相同的常量信道 h w ( 0 , 0 ) h_w(0,0) hw​(0,0),这简化信号处理的难度。
OTFS 可以与已有的多载波调制技术兼容，将图中的海森堡变换特化为 IFFT，魏格纳变换特化为 FFT，内侧虚线框中就是一个 OFDM 系统。因此，在 OFDM 系统的发送端增加 ISFFT 预处理模块，增加SFFT 实现OTFS。

较于OFDM系统，OTFS需要在发送和接收处各多加一个OTFS转换，来完成在多普勒-延时域和时频域之间的变换。然而，核心的思路仍是类似的： 在更易进行信号处理的域上装载信息。 例如传统的OFDM系统，对于频选多径场景，直接在时域上进行信号处理将非常复杂。然而通过把信息装在在子载波上，由于每个子载波的平坦性，信号处理的难度将大幅降低。 相较于OFDM， OTFS则将时变性也考虑在内，并指出了在多普勒-时延域上进行信号处理的优势。

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