物理建模系列(三) 绳上的“死结”和“活结”模型

物理建模系列(三) 绳上的“死结”和“活结”模型

[模型概述]

“死结”模型

“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点．“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等．

“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点．“活结”“活结”模型

一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线.

例 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：

(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；

(2)轻杆BC对C端的支持力；

(3)轻杆HG对G端的支持力．

【思路点拨】 图甲中细绳跨过定滑轮与物体M1相连，属于“活结”模型，细绳AC和CD张力大小相等，细绳对定滑轮的合力方向沿∠ACD的角平分线方向；图乙中细绳EG和细绳GF为连接于G点的两段独立的绳，属于“死结”模型，细绳EG和细绳GF的张力不相等，轻杆对G点的弹力沿轻杆方向．

【解析】 题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解．

(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g

图乙中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g.

FTACM1所以＝.

FTEG2M2

(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°，指向右上方．

(3)图乙中，根据平衡规律有FTEGsin 30°＝M2g，FTEG cos 30°＝FNG，所以FNG＝M2gcot 30°＝3M2g，方向水平向右．

M1【答案】 (1) (2)M1g，方向与水平方向成30°指向右上方

2M2(3)3M2g，方向水平向右

[高考真题]

1．(2013·重庆卷，1)如图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ.若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为( )

A．G

C．Gcos θ

B．Gsin θ

D．Gtan θ

【解析】 运用力的平衡条件，可求得椅子对人的作用力．选人为研究对象，人受到重力和椅子各部分对他的作用力的合力，根据力的平衡条件可知，椅子对他的作用力的合力与重力等大、反向，故选项A正确．

【答案】 A

2．(2013·课标卷Ⅱ，15)如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上．若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2(F2>0)．由此可求出( )

A．物块的质量

B．斜面的倾角

C．物块与斜面间的最大静摩擦力

D．物块对斜面的正压力

【解析】 物块受与斜面平行的外力F作用，而在斜面上静止，此时摩擦力的大小和方向将随F的变化而变化．设斜面倾角为θ，由平衡条件F1－mgsin θ－Ffmax＝0，F2－mgsin

θ＋Ffmax＝0，解得Ffmax＝【答案】 C

F1－F2，故选项C正确．

2

3.(2016·课标卷Ⅲ，17)如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为( )

mA.

2C.m

B．3m

2D．2m

【解析】 根据题意设悬挂小物块的点为O′，圆弧的圆心为O，由于ab＝R，所以三角形Oab为等边三角形，根据几何知识可得∠aO′b＝120°，而一条绳子上的张力大小相等，故T＝mg，小物块受到两条绳子的拉力作用大小相等，夹角为120°，故受到的拉力的合力等于mg，因为小物块受到绳子的拉力和自身重力作用，处于平衡状态，故拉力的合力等于小物块的重力为mg，所以小物块的质量为m，C正确．

【答案】 C

[名校模拟]

4．(2018·安徽合肥段考)将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示，用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F达到最小时Oa绳上的拉力为( )

A.3mg

C.3mg

2B．mg

1D．mg

2【解析】 以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在不同方向时整体的受力图，根据平衡条件可知，F与T的合力与重力2mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与绳子Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为Fmin＝2mgsin 30°＝mg，T＝2mgcos 30°＝3mg，A正确．

【答案】 A

5.(2018·广东仲元中学月考)如图所示，跳伞运动员打开伞后经过一段时间，将在空中保持匀速降落．已知运动员和他身上装备的总重力为G1(不包括伞面)，圆顶形降落伞伞面的重力为G2，有8条相同的拉线，一端与飞行员相连(拉线重力不计)，另一端均匀分布在伞面边缘上(图中没有把拉线都画出来)，每根拉线和竖直方向都成30°角．那么每根拉线上的张力大小为( )

G1A.

4G1＋G2C.

8B．D．3G1

123G1＋G2

12【解析】 对运动员进行受力分析可知，8条拉线拉力的合力与运动员的重力等大反向，即8条拉线在水平方向的分力的合力为零，竖直方向分力的合力与运动员的重力等大反向，根据对称性可知，8条拉线的张力大小都相等，每条拉线的张力在竖直方向的分力Fy＝Fcos

30°，且8Fy＝G1，可得F＝【答案】 B

6.

G1G13G1＝＝，故B正确，A、C、D错误．

8cos 30°4312

(2018·山东泰安高三上学期期中)在日常生活中，力的分解有着广泛的应用．如图为用斧子把树桩劈开的图示，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，下列关系正确的是( )

θA．F＝2F1sin()

2B．F＝2F1sin θ

θC．F＝2F1cos()

2D．F＝2F1cos θ

θ【解析】 F1、F2与水平方向的夹角为，

2θ则F＝2F1sin，A对．

2【答案】 A

课时作业(五)

[基础小题练]

1．(2018·广州调研)如图，三个大小相等的力F，作用于同一点O，则合力最小的是( )

【解析】 根据矢量合成的平行四边形定则可知，C选项的合力为零，即合力最小，C正确．

【答案】 C

2.(2018·淮安模拟)我国海军在南海某空域举行实兵对抗演练，某一直升机在匀速水平飞行过程中遇到突发情况，立即改为沿虚线方向斜向下减速飞行，则空气对其作用力可能是( )

A．F1

C．F3

B．F2

D．F4

【解析】 因为直升机沿虚线方向斜向下减速飞行，故合力沿虚线向上，直升机受到竖直向下的重力以及空气作用力两个力，要想合力沿虚线向上，则根据矢量三角形可得空气对其作用力可能为F1，如图所示．

【答案】 A

3.(2018·石家庄模拟)如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )

A．kL

C.3kL

2B．2kL

D．15kL

2L21【解析】 设发射弹丸瞬间两橡皮条间的夹角为2θ，则sin θ＝＝，cos θ＝1－sin2θ2L4＝1515.发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为F合＝2Fcos θ，F＝kx＝kL，故F合＝2kL·＝4415kL，D正确．

2【答案】 D

4．手握轻杆，杆的另一端安装有一个小滑轮C，支持着悬挂重物的绳子，如图所示，现保持滑轮C的位置不变，使杆柄向上转动一个角度，则杆对滑轮C的作用力将( )

A．变大

C．变小

B．不变

D．无法确定

【解析】 杆对滑轮C的作用力大小等于两绳上拉力的合力，由于两绳上拉力的合力不变，故杆对滑轮C的作用力不变．

【答案】 B

5．如图所示，作用于O点的三个力F1、F2、F3合力为零，F1沿－y方向，大小已知．F2与＋x方向夹角为θ(θ<90°)，大小未知．下列说法正确的是( )

A．F3可能指向第二象限

B．F3一定指向第三象限

C．F3与F2的夹角越小，则F3与F2的合力越小

D．F3的最小可能值为F1cos θ

【解析】 因F1、F2、F3的合力为零，故F3应与F2、F1的合力等大反向，故F3可能指向第二象限，也可能指向第三象限，选项A正确，B错误；F3、F2的合力与F1等大反向，而F1大小、方向均已知，故F3与F2的合力与其夹角大小无关，选项C错误；当F3与F2

垂直时，F3最小，其最小值为F1cos θ，选项D正确．

【答案】 AD

6.(2018·六安一中二模)如图所示，两个质量为m1的小球套在竖直放置的光滑支架上，支架的夹角为120°，用轻绳将两球与质量为m2的小球连接，绳与杆构成一个菱形，则m1∶m2为( )

A．1∶1

C．1∶3

B．1∶2

D．3∶2

【解析】 将小球m2的重力按效果根据平行四边形定则进行分解如图，由几何知识得T＝m2g，对m1受力分析，由平衡条件，在沿杆的方向有：m1gsin 30°＝Tsin 30°，得：T＝m1g，可见m1∶m2＝1∶1，故选A.

【答案】 A

[创新导向练]

7．生活实际——千斤顶中的力学原理

(2018·贵阳监测)如图所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°.下列判断正确的是( )

A．此时千斤顶每臂受到的压力大小均为5.0×104 N

B．此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×104 N

C．若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将增大

D．若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力将减小

【解析】 车轮刚被顶起时，千斤顶两臂支持力的合力为千斤顶对汽车的支持力，等于汽车对千斤顶的压力，大小为1.0×105 N，B项错误；两臂夹角为120°，由力的合成可知千斤顶每臂受到的压力为1.0×105 N，A项错误；继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂夹角减小，每臂受到的压力减小，D项正确，C项错误．

【答案】 D

8．生活实际——以“减速带”为背景考查力的合成问题

减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是( )

【解析】 减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F可以分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向上分力产生向上运动的作用效果，故B正确，D错误．

【答案】 B

9．人体生理——关节运动中所包含的力学问题

如右图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ.设此时大小腿部的肌肉群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受小腿骨沿竖直方向的力约为( )

FA.

θ2sin2FC.

θ2tan2FB．

θ2cos2FθD．tan()

22【解析】 根据题意先将肌肉群对膝关节的作用力F沿大腿骨和小腿骨方向分解，然后再分解小腿骨方向的分力，即可知D正确．

【答案】 D

10．科技生活——缓冲门中的力学问题分析

如图所示为缓慢关门时(图中箭头方向)门锁的示意图，锁舌尖角为37°，此时弹簧弹力为24 N，锁舌表面较光滑，摩擦不计(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，下列说法正确的是( )

A．此时锁壳碰锁舌的弹力为40 N

B．此时锁壳碰锁舌的弹力为30 N

C．关门时锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大

D．关门时锁壳碰锁舌的弹力保持不变

【解析】 锁壳碰锁舌的弹力分解如图所示，其中F1＝FN sin 37°，且此时F1大小等于弹簧的弹力为24 N，解得锁壳碰锁舌的弹力为40 N，选项A正确，B错误；关门时，弹簧的压缩量增大，弹簧的弹力增大，故锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大，选项C正确，D错误．

【答案】 AC

[综合提升练]

11．(2018·山东泰安高三上学期期中)质量为m的物体置于倾角为θ＝37°的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ＝0.2.如图甲所示，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上，使其能沿斜面匀速上滑；若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上F1滑，如图乙所示．求两次推力大小之比.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

F2

【解析】 根据共点力平衡条件可得F1＝mgsin θ＋μFNFN＝mgcos θ

F2cos θ＝mgsin θ＋μF′N

F′N＝mgcos θ＋F2sin θ

F1F1整理得＝cos θ－μsin θ代入数值得＝0.68.

F2F2【答案】 0.68

12．电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量．某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图所示，将相距为L的两根固定支柱A、B(图中的小圆圈表示支柱的横截面)垂直于金属绳水平放置，在A、B的中点用

一可动支柱C向上推动金属绳，使绳在垂直于A、B的方向竖直向上发生一个偏移量d(d≪L)，这时仪器测得金属绳对支柱C竖直向下的作用力为F.

(1)试用L、d、F表示这时金属绳中的张力FT；

(2)如果偏移量d＝10 mm，作用力F＝400 N，L＝250 mm，计算金属绳中张力的大小．

【解析】 (1)设C′点受两边金属绳的张力分别为FT1和FT2，BC与BC′的夹角为θ，如图所示．依对称性有：

FT1＝FT2＝FT

由力的合成有：F＝2FTsin θ

根据几何关系有sin θ＝dL

22d＋4联立上述二式解得FFT＝2d

2＋L2d4

则d≪L，故FFLT＝4d.

(2)将d＝10 mm，F＝400 N，L＝250 mm代入FFLT＝4d

解得FT＝2.5×103 N，即金属绳中的张力为2.5×103 N.

【答案】 (1)FL4d (2)2.5×103 N