版九年级数学下册《1-6利用三角函数测高》同步练习题(附答案

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》同步练习题（附答案）

1．如图，小华站在水库的堤坝上的G点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角∠FDC＝30°，若小华的眼睛与底面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米．BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度i＝4：3，坡长AB为8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为（ ）米（1.732，结果精确到0.1米）

≈

A．8 B．8.1 C．8.3 D．8.4

2．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14m到达D，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为（ ）

A．m B．m C．m D．m

3．如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC为1.6m，则树的高度BD为（ ）

A．8m

B．9.6m C．（4）m D．（8+1.6）m

4．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则乙建筑物的高度为（ ）米．

A．30 B．30﹣30 C．30 D．30

5．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其东北方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ）海里．

A．15+15 B．30+30 C．45+15 D．60

6．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝40m，DE＝10m，则障碍物B，C两点间的距离为

m．（结果保留根号）

7．为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝

米．

8．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为 米．

9．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶D的仰角为20°，教学楼底部B的俯角为30°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m．（结果精确到0.1m．参考数据tan20°≈0.36，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，（1）求∠BCD的度数．

（2）求教学楼的高BD．

≈1.73）

10．如图，亮亮在教学楼距水平地面5米高的窗口C处测得正前方旗杆顶部A点的仰角为45°，旗杆底部B点的俯角为30°，升旗时国旗上端挂在距地面2米处，若国旗随国歌冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端．

（1）求旗杆AB的高度；（精确到0.1米）

（2）国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：＝1.41，＝1.73）

11．一货轮在A处测得灯塔P在货轮的北偏西23°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，1小时后到达B处，此时又测得灯塔P在货轮的北偏西60°的方向上，求此时货轮距灯塔P的距离（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

12．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于某山顶的一座雕像的高度．已知山的坡度i＝1：，山高BC＝300米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米到达E处，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．

13．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向，BP＝6km．

（1）求A、B两观测站之间的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向前行，求观测站B与小船的最短距离．

14．如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00在点A处测得小岛O在北偏东60°方向的16km处；上午8：30轮船到达B处，测得小岛O在北偏东30°方向．

（1）求轮船从A处到B处的航速；

（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？

15．如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，在顶端E点测得A的仰角∠AEF＝45°，

（1）若设AB为x米，请用含x的代数式表示AF的长．

（2）求出发射塔AB的高度．（cosα≈，sinα≈，tanα≈）

16．如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为（即tan∠PAD＝），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；

（2）求建筑物MN的高度．

17．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试航任务．某日航母在南海海域试航，如图，海中有一个小岛A，并测得该岛四周10海里内有暗礁，航母由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后如果航母继续向东航行，途中会有触礁的危险吗？（参考数据：sin55°＝0.8，cos55°＝0.6，tan55°＝1.4，sin25°＝0.4，cos25°＝0.9，tan25°＝0.5）

18．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，则该楼的高度CD多少米？（结果保留根号）

19．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P在船的北偏东30°的方向，轮船沿着北偏东60°的方向航行16km后到达B处，这时灯塔P在船的北偏西75°的方向．求灯塔P与B之间的距离（结果保留根号）．

20．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米，求条幅AE的长度．（结果保留根号）

21．地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．

参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．

22．某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．

23．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．

（1）求城门大楼的高度；

（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

24．如图，一艘渔船以16海里/小时的速度由西向东航行，上年10点在A处测得海中小岛C在北偏东60°方向上，10点30分航行到B处，在B处测得小岛C在东北方向上．

（1）求小岛C到航线的距离（结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）；

（2）小岛C周围10海里内有暗礁，如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？判断并说明理由．

25．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．

（1）求∠BAD的度数；

（2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

26．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）

参考答案

1．解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．

∵i＝∴BE＝＝，AB＝8米，

，AE＝．

∵DG＝1.6，BG＝0.7，

∴DH＝DG+GH＝1.6+AH＝AE+EH＝在Rt△CDH中，

∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝8，tan30°＝∴CH＝8．

＝，

＝8，

+0.7＝5.5．

又∵CH＝CA+5.5，

即8＝CA+5.5，

﹣5.5（米）≈8.4（米）． ∴CA＝8故选：D．

2．解：在Rt△ABD中，

∵∠ADB＝45°，

∴BD＝AB．

在Rt△ABC中，

∵∠ACB＝30°，

∴BC＝AB．

设AB＝x（米），

∵CD＝14，

∴BC＝x+14．

∴x+14＝∴x＝7（x

+1）．

+1）米． 即铁塔AB的高为7（

故选：B．

3．解：在Rt△CBH中，∠HCB＝45°，CH＝8m，

∴，

∴HB＝CH•tan∠HAB＝8×tan45°＝8m，

∴HD＝HB+AC＝8+1.6＝9.6．

答：树的高度为9.6m．

故选：B．

4．解：如图，过A作AF⊥CD于点F，

在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，BC＝30m，

∵tan∠DBC＝，

∴CD＝BC•tan60°＝30m，

∴甲建筑物的高度为30m；

在Rt△AFD中，∠DAF＝45°，

∴DF＝AF＝BC＝30m，

∴AB＝CF＝CD﹣DF＝（30﹣30）m，

∴乙建筑物的高度为（30﹣30）m．

故选：B．

5．解：作BD⊥AP，垂足为D，

根据题意，得∠BAD＝45°，

∴AC＝PC，即30+BC＝PC，

又∵∠BPC＝30°，

∴BP＝2BC，PC＝∴30+BC＝BC，即BC＝+1）＝30＝BC，

＝15（+30．

+1），

∴BP＝2BC＝30（故选：B．

6．解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．

则DE＝BF＝CH＝10m，

在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝30m，∠ADF＝45°，

∴DF＝AF＝30m．

在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，

∴CE＝＝＝10（m），

∴BC＝BE﹣CE＝（30﹣10）m．

）m． 答：障碍物B，C两点间的距离为（30﹣107．解：过A作AC⊥BE于C，

则AC＝DE＝15，

根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，

则BE＝BC+CE＝16.8（米），

故答案为：16.8．

8．解：作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．

则∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，CD＝270米．

在Rt△ACD中，tan∠CAD＝∴AD＝＝90，

（米）．

，

＝90（米）．

在Rt△ABD中，tan∠BAD＝∴BD＝AD•tan30°＝90×∴BC＝CD﹣BD＝270﹣90＝180（米）．

答：这栋大楼的高为180米．故答案为180．

9．解：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE＝20°，∠BCE＝30°，

∴∠BCD＝∠DCE+∠BCE＝20°+30°＝50°；

（2）由题意得：CE＝AB＝30m，

在Rt△CBE中，BE＝CE•tan30°≈17.32m，

在Rt△CDE中，DE＝CE•tan20°≈10.8m，

∴教学楼的高BD＝BE+DE＝17.32+10.8≈28.1m，

则教学楼的高约为28.1m．

10．解：（1）如图，作CH⊥AB于H．

在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，BH＝5米，

∴CH＝BH＝5（米），

在Rt△ACH中，∵∠ACH＝45°，

∴AH＝HC＝5（米），

≈13.7（米）．

≈0.26（米/秒）．

∴AB＝AH+BH＝5+5（2）国旗上升的速度＝

11．解：由题意可知：∠PAB＝53°，

由平行线的性质可知∠PBA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

∵AB＝80×1＝80（海里），

在Rt△APB中，∵∠PAB＝53°，AB＝80，

∴PB＝AB•tan53°＝80×＝答：此时货轮距灯塔P的距离为12．解：由题意知，tanD＝i＝即∠D＝30°，∠DBC＝60°

过E作EF⊥AC于F，得∠BEF＝∠D＝30°，而∠AEF＝60°

∴∠AEB＝∠A＝30°，

∴AB＝BE

由于BD＝2BC＝600，

，

海里，

海里．

而DE＝540，故EB＝60

∴AB＝60

答：雕像AB的高度为60米．

13．解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，设PD＝x，

所以∠PBD＝45°即因为∠PAD＝90°﹣60°＝30°，

所以所以A、B观测站距离：（2）∵小船在北偏西60°的方向，

∴∠FAB＝30°，

∴BF＝km．

km

km

km

14．解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D．

由题意知：∠OAD＝30°，∠OBD＝60°．

在Rt△OAD中，∵OA＝16∴OD＝8，AD＝24．

，∠OBD＝60°．

，∠OAD＝30°，

在Rt△OBD中，∵OD＝8∴BD＝＝＝8，

∴AB＝AD﹣BD＝24﹣8＝16（km），

∴v＝＝32（km/h）

答：轮船从A处到B处的航速为32km/h．

（2）过点O作∠DOE＝45°交AD的延长线于点E．

∵∠DOE＝45°，∠ODE＝90°，

∴DE＝OD＝8km，

BE＝BD+DE＝8+8∵＝（km），

（h），

小时才恰好位于小岛的东南方向． 答：轮船按原速继续向东航行，还需要航行

15．解：（1）∵四边形EDCF为矩形，

∴ED＝CF＝340m，

又AC＝（452+x）m

∴AF＝AC﹣CF＝452+x﹣340＝（112+x）m；

（2）在Rt△AEF中，

∵∠AEF＝45°，

∴EF＝AF＝（112+x）m＝CD

在Rt△ADC中，

∵∠ADC＝α，

∴tanα＝∴∴x＝28

答：发射塔AB的高度为28m．

16．解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．

，

∵tan∠PAD＝∴AD＝15，PA＝＝，PD＝5，

＝5（米），

米． ∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为5

（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，

∴∠PNH＝∠NPH＝45°，

∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，

在Rt△AMN中，∵tan60°＝∴MN＝∴x＝5+AM，

（x﹣15）

+25）（米），

+30）米．

，

解得x＝（10∴MN＝x+5＝（1017．解：如图，作AD⊥BC于点D，设AD＝x海里，

在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝25°，

∴CD＝AD•tan25°＝tan25°•x．

在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝55°，

∴BD＝AD•tan55°＝tan55°•x．

∵BD﹣CD＝BC，

∴tan55°•x﹣tan25°•x＝20，

∴x＝≈＝＞10，

因为A岛到货轮的航线的最短距离大于10，所以不可能触礁．

18．解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，

∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，

∴∠ADB＝∠A＝30°，

∴BD＝AB＝60m，

∴CD＝BD•sin60°＝60×＝30（m）

19．解：过点P作PH⊥AB于点H，

由题意得∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，

设PH＝x，则AH＝∵AB＝16，

∴x+x＝16，

﹣8，

﹣8，

﹣8）km．

x，BH＝x，PB＝x，

解得：x＝8∴PB＝x＝8答：灯塔P与B之间的距离为（820．解：过点C作CF⊥AB于点F，如右图所示，

由题知：四边形CDBF为矩形，BD＝12米，

∴CF＝DB＝12米，

∵在Rt△ACF中，∠ACF＝45°，

∴∴AF＝12米，

∵在Rt△CEF中，∠ECF＝30°，

∴∴∴，

米，

）米，

米．

，

，

∴AE＝AF+EF＝（12+4即条幅AE的长度为

21．解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，

由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，

则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，

∵tan∠BQD＝∴tan14°＝即0.25＝，

，

，

解得，ED＝18，

∴AC＝ED＝18，

∵BC＝7.5，

∴tan∠BAC＝＝，

即电梯AB的坡度是5：12，

∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，

∴AB＝＝19.5，

即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．

22．解：由题意可得，

∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，CH＝DG＝EF＝1.5米，FG＝ED＝15米，

∵∠ADC＝∠AED+∠EAD，

∴∠EAD＝30°，

∴∠EAD＝∠AED，

∴ED＝AD，

∴AD＝15米，

∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝30°，

∴DC＝米，AC＝米，

+＝米， ∴AH＝AC+CH＝∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，

∴∠DBC＝45°，

∴∠BDC＝∠DBC，

∴BC＝CD＝米，

﹣米，AB＝＝米，

米．

∴AB＝AC﹣BC＝即AH＝23．解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，

由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，

∵∠AED＝∠AFB＝90°，

∴∠DAE＝45°，

∴∠DAE＝∠ADE，

∴AE＝DE，

设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，

∵tan∠B＝∴tan22°＝即解得，a＝12，

答：城门大楼的高度是12米；

，

，

，

（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝∴sin22°＝∴AB，

，

＝32，

即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．

24．解：（1）过C作CD⊥AB于D，

由题意得，∠CAB＝30°，∠DBC＝45°，AB＝16×＝8（海里），

∵∠BDC＝90°，

∴BD＝CD，

在Rt△ACD中，AD＝∵AB＝AD﹣BD＝∴CD≈11（海里），

答：小岛C到航线的距离是11海里；

（2）没有触礁的危险，

理由：∵CD＝11＞10，

∴没有触礁的危险．

＝CD，

CD﹣CD＝8，

25．解：（1）∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，

∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°．

（2）过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离．

∵∠ABD＝90°﹣60°＝30°．

∴∠ABD＝∠BAD．

∴BD＝AD＝12海里．

∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°，

∴AC＝AD•cos∠CAD＝≈10.392＞8，

即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．

26．解：过B作BD⊥AC于点D．

在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），

∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，

∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），

∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．

答：B、C两地的距离大约是6千米．