(完整版)大学用三角函数公式大全

倒数关系：

tanα ·cotα=1

sinα ·cscα=1

cosα ·secα=1

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

1+cot^2(α)=csc^2(α)

tan α *cot α=1

一个特殊公式

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

二倍角公式

正弦

sin2A=2sinA·cosA

余弦

2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)

2a=1-2Sin^2(a)

2a=2Cos^2(a)-1

即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)

正切

tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

两角和公式

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

1

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

双曲函数

sh a = [e^a-e^(-a)]/2

ch a = [e^a+e^(-a)]/2

th a = sin h(a)/cos h(a)

sin（π/2+α）= cosα

cos（π/2+α）= -sinα

tan（π/2+α）= -cotα

cot（π/2+α）= -tanα

sin（π/2-α）= cosα

cos（π/2-α）= sinα

tan（π/2-α）= cotα

cot（π/2-α）= tanα

三角函数的诱导公式（六公式）

公式一 sin(-α) = -sinα

tan (-α)=-tanα

公式二sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) = sinα

公式三 sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα

公式四sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα

公式五sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα

公式六tanA= sinA/cosA

tan（π/2+α）=－cotα

tan（π/2－α）=cotα

tan（π－α）=－tanα

tan（π+α）=tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]

cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]

tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]

其它公式

(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

(4)对于任意非直角三角形，总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

2

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

其他非重点三角函数

csc(a) = 1/sin(a)

sec(a) = 1/cos(a)

(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2

和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

反三角函数公式

arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x

当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x

x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x

x∈(0，π),arccot(cotx)=x

x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似

若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

三角函数求导：

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(tanx)'=(secx)^2

(secx)'=secxtanx

(cotx)'=-(cscx)^2

(cscx)'=-csxcotx

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

基本求导公式

3

⑴

(C)0（C为常数）⑵

(xn)nxn1；一般地，(x)x1。

111特别地：(x)1，(x2)2x，()2，(x)。

xx2x⑶

(ex)ex；一般地，(ax)axlna (a0,a1)。

⑷

(lnx)11；一般地，(logax) (a0,a1)。

xxlna求导法则 ⑴ 四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）(f(x)g(x))f(x)g(x)；

（Ⅱ）特别(Cf(x))Cf(x)（C为常数）；

(f(x)g(x))f(x)g(x)f(x)g(x)，（Ⅲ）(f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)1g(x)), (g(x)0)()，特别。

g(x)g(x)g2(x)g2(x)微分 函数yf(x)在点x处的微分：dyydxf(x)dx

积分公式

常用的不定积分公式：

11x2x32xdx1xC (1),dxxc,xdx2c,xdx3；

4x3xdxc4ax1xxxC (a0,a1)；

dxln|x|C；

edxeC；

adxlnaxkf(x)dxkf(x)dx（k为常数）

定积分：

baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

[k1f(x)k2g(x)]dxk1f(x)dxk2g(x)dx

aabbba分部积分法：

设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数u(x),v(x)，则

u(x)dv(x)u(x)v(x)abbav(x)du(x)

ab重要的等价无穷小替换:

4

当x→0时，

sinx~x

tanx~x

arcsinx~x

arctanx~x

1-cosx~1/2*（x^2）

（a^x）-1~x*lna

（e^x）-1~x

ln(1+x)~x

(1+Bx)^a-1~aBx

[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

loga(1+x)~x/lna

5