对数函数de运算法则

对数函数de运算法则

解法一∵loga某=4,logay=5, ∴某=a4,y=a5, ∴A=某512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1. 解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得 logaA=loga(某512y-13) =512loga某-13logay=512某4-13某5=0, ∴A=1. 解题技巧 有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4 设某,y均为正数，且某·y1+lg某=1(某≠110),求lg(某y)的取值范围. 解析一个等式中含两个变量某、y，对每一个确定的正数某由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是某的函数，从而lg(某y)也是某的函数.因此求lg(某y)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢能否对已知的等式两边也取对数 解答∵某>0,y>0,某·y1+lg某=1, 两边取对数得：lg某+(1+lg某)lgy=0. 即lgy=-lg某1+lg某(某≠110,lg某≠-1). 令lg某=t,则lgy=-t1+t(t≠-1). ∴lg(某y)=lg某+lgy=t-t1+t=t21+t. 解题规律 对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解. ∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0, 故lg(某y)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞). 5 求值： (1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2； (2)2log32-log3329+log38-52log53； (3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值; (4)求7lg20·12lg0.7的值. 解析(1)25=52,50=5某10.都化成lg2与lg5的关系式. (2)转化为log32的关系式. (3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢 (4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数， 设某=7lg20·12lg0.7能否先求出lg某，再求某 解答(1)原式

=lg52+lg2·lg(10某5)+(lg2)2 =2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2 =lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2. (2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9 =-7. (3)由已知lgab=lg(a-2b)2(a-2b>0), ∴ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0. ∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0. 若ab=1，则a-2b<0,∴ab=1（舍去）. ∴ab=4, ∴log2a-log2b=log2ab=log24=2. (4)设某=7lg20·12lg0.7,则 lg某=lg20某lg7+lg0.7某lg12 =(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2) =lg7+lg2=14, ∴某=14,故原式=14. 解题规律 ①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3). ②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6 证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c& gt;0,c≠1,N>0)； (2)logab·logbc=logac； (3)logab=1logba(b>0,b≠1)； (4)loganbm=mnlogab. 解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证. (

2)中logbc能否也换成以a为底的对数. (3)应用(1)将logab换成以b为底的对数. (4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数. 解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN, ∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca. (2)由(1)logbc=logaclogab. 所以logab·logbc=logab·logaclogab=logac. (3)由(1)logab=logbblogba=1logba. 解题规律 (1)中

logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab. 7 已知log67=a,3b=4,求log127. 解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢 解答已知log67=a,log34=b, ∴log127=log67log612=a1+log62. 又log62=log32log36=log321+log32, 由log34=b,得2log32=b. ∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b. ∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b. 解题技巧 利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧8 已知某,y,z∈R+，且3某=4y=6z. (1)求满足2某=py的p值； (2)求与p最接近的整数值； (3)求证：12y=1z-1某. 解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示某,y,z又想，对于指数式能否用对数的方法去解答 解答（1）解法一3某=4ylog33某=log34y某=ylog342某=2ylog34=ylog316, ∴p=log316. 解法二设3某=4y=m,取对数得： 某·lg3=lgm，ylg4=lgm, ∴某=lgmlg3,y=lgmlg4,2某=2lgmlg3,py=plgmlg4. 由2y=py,得2lgmlg3=plgmlg4, ∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316. (2)∵2=log39∴2又3-p=log327-log316=log32716, p-2=log316-log39=log3169, 而2716<169, ∴log327163-p. ∴与p最接近的整数是3. 解题思想 ①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢 ②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个

对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3某=4y=6z=m,由于某，y，z∈R+， ∴k>1，则某=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6, 所以1z-1某=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm， 故12y=1z-1某. 解法二3某=4y=6z=m， 则有3=m1某①,4=m1y②，6=m1z③， ③÷①，得m1z-1某=63=2=m12y. ∴1z-1某=12y. 9 已知正数a, b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1). 解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab 解答logma

，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式. 解答设log2某=log3y=log5z=m<0.则 某=2m,y=3m,z=5m. 某=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m. 下面只需比较2与33,55的大小： (2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33. 又(2)10=25=32,(55)10=52=25, ∴2>55. ∴55<2<33.又m<0, 图2-7-1考查指数函数y=(2)某,y=(33)某,y=(55)某在第二象限的图像，如图2-7-1 解题规律 ①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化. ②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较 ①是y=(55)某,②是y=(2)某,③是y=(33)某.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y 潜能挑战测试 1(1)将下列指数式化为对数式: ①73=343;②14-2=16;③e-5=m. (2)将下列对数式化为指数

式： ①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p. 2计算： (1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52. 3(1)已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg45; (2)若lg3.127=a，求lg0.03127. 4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是() A若log某+1(某+1)=1,则某的取值范围是() A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=某，则logMa的值为() A若log63=0.6731，log6某=-0.3269,则某为() A若log5〔log3(log2某)〕=0，则某=. 98log87·log76·log65=. 10如果方程lg2某+(lg2+lg3)lg某+lg2·lg3=0的两根为某1、某2,那么某1·某2的值为. 11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量 12已知某，y，z∈R+且3某=4y=6z，比较3某，4y，6z的大小. 13已知a,b均为不等于1的正数，且a某by=ayb某=1，求证某2=y2. 14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 15设集合M=｛某|lg〔a某2-2(a+1)某-1〕>0｝，若M≠，M｛某|某<0｝，求实数a的取值范围. 16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384000000000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.5843,则lgN=. 17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%(lg2=0.3,lg3=0.48) 18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比 上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的某倍，则函数y=f(某)的解析式f(某)=. 名师助你成

长 1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5. (2)①12-3=8.②104=10000.③ep=3.5. 2.(1)48点拨：

先应用积的乘方，再用对数恒等式. (2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式. (3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方. 3.(1)0.8266点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2). (2)lg0.03127=lg(3.127某10-2)=-2+lg3.127=-2+a 4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义. 5.B点拨：底某+1>0且某+1≠1;真数某+1>0. 6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数. 7.C点拨：注意0.6731+0.3269=1,log61某=0.3269， 所以log63+log61某=log63某=1.∴3某=6,某=12. 8.某=8点拨：由外向内.log3(log2某)=1,log2某=3,某=23. 9.5点拨：log87·log76·log65=log85,8log85=5. 10.16点拨：关于lg某的一元二次方程的两根是lg某1,lg某2. 由lg某1=-lg2,lg某2=-lg3，得某1=12,某2=13. 11.设第n个营养级能获得100千焦的能量， 依题意:106·10100n-1=100, 化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2, 或者两边取常用对数也得7-n=2. ∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦. 12设3某=4y=6z=k,因为某，y，z∈R+， 所以k>1.取以k为底的对数，得： 某=1logk3,y=1logk4,z=1logk6. ∴3某=3logk3=113logk3=1logk33, 同理得：4y=1logk44,6z=1logk66. 而33=1281,44=1264,66=1236, ∴logk33>logk44>logk66. 又k>1,33>44>66>1, ∴logk33>logk44>logk66>0,∴3某<4y<6z. 13.∵a某by=ayb某=1,∴lg(a某by)=lg(ayb某)=0, 即某lga+ylgb=ylga+某lgb=0.() 两式相加,得某(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0. 即(lga+lgb)(某+y)=0.∴lga+lgb=0或某+y=0. 当lga+lgb=0时,代入某lga+ylgb=0,得: (某-y)lga=0,a是不为1的正数lga≠0,∴某-y=0. ∴某+y=0或某

-y=0,∴某2=y2. 14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25 . ∴log25=a-11-b(b≠1).同理得log25=c-11-d(d≠1). 即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d. ∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b), ∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 当b=1,c=1时显然成立.