admin 管理员组

文章数量: 887021


2024年2月29日发(作者：jquery第三方插件)

正弦定理、余弦定理【基础知识点】1. 三角形常用公式：A＋B＋C＝π；S＝4．正弦定理应用范围：　　①已知两角和任一边，求其他两边及一角．　　②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．C

th③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角C

b

inabaa

CbaB1AB、BA

a=bsinA

bsinA

ab 一解 两解 一解(2)A为锐角或钝角当a>b时有一解.5．【余弦定理】　a2=b2+c2-2bccosA．c2=a2+b2-2abcosC．b2=a2+c2-2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为

time

and

All

thingsAB21

a2RsinA正弦定理的变式：b2RsinB；　　　a∶b∶c＝sin

A∶sin

B∶sin

C．c2RsinC3．【正弦定理】：abc＝＝＝2R（外接圆直径）；sinAsinBsinC

2．三角形中的边角不等关系: A>Ba>b,a+b>c,a-b

A＝＝ca

sin

B；222

讲师：王光明

6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．【习题知识点】知识点1　运用判断三角形形状 解法2:22 即△ABC为等腰三角形.知识点2　　运用正、余弦定理解三角形例题2　在△ABC中，已知a3，b2，B=45 求A、C及c.【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【解析】解法1：asinB3sin453 由正弦定理得：sinAb22

∵B=45<90 即b

∴A=60或120

解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:

①已知三条边(边边边),求三个角; ②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理: ①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角; ②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.

bsinC当A=60时C=75

csinB

2sin75sin45

2

a2c2bb2c2aab222ac2bc 由余弦定理:

ab ∴

ab

622

2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0 A-B=0 ∴A=B 即△ABC为等腰三角形

【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【解析】 解法1：

由扩充的正弦定理：代入已知式

例题1在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.

bsinC2sin15当A=120时C=15

csinBsin45622 解法2： 设c=x由余弦定理

x 当c例题3　 已知A、B、C为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C的值．出A+B和C的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C． 【解析】A、B、C为锐角

tan(AB)

tanAtanB1231tanAtanB120°ABC270°

又tanA1，tanB2，由公式可得

tan(ABC)tan(AB)C

所以A+B+C=π求AC的长及△ABC的面积．

【解析】在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝3．

3

例题4 △ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，

知识点4

求三角形的面积

　【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求

tan(AB)tanC331tan(AB)tanC

1(3)3 =0知识点3　　解决与三角形在关的证明、计算问题

62时同理可求得：A=120

2C=15.

当c622)3bca13622 从而A=60 ，C=75时cosA2bc2622(31)22222222(

B

A

2 D 1 C

622

b2a2c22accosB将已知条件代入，整理：x26x10解之：

在△ACD中，AD2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150o＝7，∴AC＝7．

∴AB＝2cos60o＝1．313． S△ABC＝×1×3×sin60o＝42 CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,…9分∴BD843.800tan75tan60

AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75°在Rt△CBD中，【解析】： 过点B作BD⊥AE交AE于D

由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°在Rt△ABD中，

4

此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？

行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若例题4 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航

知识点4

解决实际为题

【课堂训练题】1、填空题

1．在ABC中，角A:B:C1:2:3，则边a:b:c等于

2．以4、5、6为边长的三角形一定是 三角形 （填 锐角 直角 或 钝角）3．在ABC中，若b2asinB，则角A等于

4．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是

5．在ABC中，若abbcc，则角A_________．222632 3．

b2asinB,sinB2sinAsinB,sinA

1. 在ABC中，若(abc)(bca)3bc，求角A

2、解答题

b2c2a21120

cosA,A120． 5.

2bc25282721 4． 设中间角为，则cos,60,18060120为所求．2582

4252621 2． 由余弦定理得：cos0，且角最大， ∴最大内角为锐角．24581,A30，或150．25

1.

A,B,C,a:b:csinA:sinB:sinC:【解析】12

32:1:3:2．22

2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中c2， 又向量m(1,cosC)，n(cosC,1)，m·n=1． （1）若A45，求a的值；

6

（2）若ab4，求△ABC的面积．

答案22(abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,

1、解：依题意：

b2c2a21 从而得

bca3bc,cosA,A602bc2222 2、解：（1）∵mn

cosCcosC2cosC1cosC∴a2由正弦定理得，sin45sin60，

a∴22322ab2abcos604，C60c2（2）∵，，

∴abab4，

2222又∵ab4，∴ab2ab16，∴ab4，

∴SABC1absinC32．

7

263

12

0C180 ∴C60

即：角A=60


本文标签： 三角形 余弦定理 正弦 定理 已知

版权声明：本文标题：(完整版)正弦定理、余弦定理知识点 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://www.freenas.com.cn/free/1709180709h539318.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。