正弦定理和余弦定理详解

高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．

学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．

基础知识梳理

abc1． 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以sin Asin Bsin C变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；abc(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，解决不同的三角形问题．

2R2R2R2． 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.

2bc2ac2ab111abc13． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并2224R2可由此计算R、r.

4． 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

图形

关系式

解的个数

a＝bsin A

一解

bsin A

两解

a≥b

一解

a>b

一解

A为锐角 A为钝角或直角

[难点正本 疑点清源]

1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA

2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

例1．已知在ABC中，c10，A45，C30，解三角形.

思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.

解析：Qooac，

sinAsinCcsinA10sin45o102， ∴asinCsin30o

∴

B180(AC)105，

又oobc，

sinBsinCcsinB10sin105o62o20sin75205652． ∴bsinCsin30o4总结升华：

1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；

2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.

举一反三：

【变式1】在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。

【答案】根据三角形内角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；

asinB42.9sin81.80根据正弦定理，b80.1(cm)；

sinAsin32.00asinC42.9sin66.20根据正弦定理，c74.1(cm).

sinAsin32.00【变式2】在ABC中，已知B75，C60，c5，求a、A.

【答案】A180(BC)180(7560)45，

0000000根据正弦定理56a5a，∴.

3sin45osin60o【变式3】在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

【答案】根据正弦定理

例2．在ABC中，babc，得a:b:csinA:sinB:sinC1:2:3.

sinAsinBsinC3,B60o,c1，求：a和A，C．

思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.

解析：由正弦定理得：bc，

sinBsinCcsinB1sin60o1， ∴sinCb23（方法一）∵0C180， ∴C30或C150，

当C150时，BC210180，（舍去）；

ooooooo

当C30时，A90，∴ab2c22．

（方法二）∵bc，B60， ∴CB，

∴C60即C为锐角， ∴C30，A90

∴ab2c22．

总结升华：

1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C时，因为sinCsin(180C)，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.

3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.

类型二：余弦定理的应用：

例3．已知ABC中，AB3、BC0oooooo37、AC4，求ABC中的最大角。

思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.

解析：∵三边中BC37最大，∴BC其所对角A最大，

AB2AC2BC23242(37)21， 根据余弦定理：cosA2ABgAC2342∵

0A180， ∴A120

故ABC中的最大角是A120.

总结升华：

1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；

2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.

举一反三：

【变式1】已知ABC中a3,

b5,

c7, 求角C.

ooooa2b2c25232721， 【答案】根据余弦定理：cosC2ab2352∵0C180， ∴C120

【变式2】在ABC中，角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若ooo:31），求ABC的各角的大小．

a:b:c6:2（

【答案】设a6k，b2k，c31k，k0

2根据余弦定理得：cosB623131462，

2∵0B180，∴B45；

同理可得A60；

∴C180AB75

【变式3】在ABC中，若abcbc，求角A.

222oooooob2c2a21 【答案】∵bcabc， ∴cosA2bc2222∵0A180， ∴A120

类型三：正、余弦定理的综合应用

例4．在ABC中，已知a23，c62，B450，求b及A.

思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.

解析：

⑴由余弦定理得：

ooob2a2c22accosB

=(23)2(62)2223(62)cos450

=12(62)243(31)

=8

∴b22.

⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

（法一：余弦定理）

b2c2a2(22)2(62)2(23)21， ∵cosA2bc2222(62)∴A600.

（法二：正弦定理）

a233∵sinAsinB

sin450b222又∵622.41.43.8，2321.83.6

∴a＜c，即00＜A＜900,

∴A600.

总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.

举一反三：

【变式1】在ABC中，已知b3,

c4,

A135.求B和C.

【答案】由余弦定理得：a34234cos13525122，

∴a222o0251226.48

bsinA3sin135o0.327， 由正弦定理得：sinBaa因为A135为钝角，则B为锐角， ∴B197.

∴C180(AB)2553.

00/00/b22，【变式2】在ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a2，c62，求角A和sinC

【答案】根据余弦定理可得：

b2c2a2884343

cosA2bc222262 ∵0A180， ∴

A30 ；

ooocsinA ∴由正弦定理得：sinCa

62sin30o2624.

其他应用题详解

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )

A．a km

C.2a km

B.3a km

D．2a km

解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理1得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×－2＝3a2，

∴AB＝3a.

答案 B

2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )

A．22 km

C．33 km

B．32 km

D．23 km

15解析 如图，由条件知AB＝24×60＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，BSAB∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知sin30°＝sin45°，所以ABBS＝sin45°sin30°＝32.

答案 B

3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )

A．35海里

C．353海里

B．352海里

D．70海里

解析 设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，

EF＝CE2＋CF2－2CE·CFcos120°

＝502＋302－2×50×30cos120°＝70.

答案 D

4．(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )

3A．201＋ m

3C．20(1＋3) m

3B．201＋ m

2D．30 m

解析 如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20 m，所以BM＝20 m．又在Rt△AMD中，

DM＝20 m，∠ADM＝30°，

20∴AM＝DMtan30°＝33(m)．

20∴AB＝AM＋MB＝33＋20

3＝201＋(m)．

3答案 A

π5．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( )

10A.10

310C.10

10B.5

5D.5

解析 由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝(2)2＋32－2×223×2sin∠ABC2×3×2＝5，所以AC＝5，再由正弦定理：sin∠BAC＝AC·BC＝＝531010.

答案 C

6．(2014·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小( )

69A.43 B．1

70C.43 D．2

解析 如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．

由余弦定理，得

DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°

＝(200－80t)2＋2 500t2－(200－80t)·50t

＝12 900t2－42 000t＋40 000.

70当t＝43时，DE最小．

答案 C

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.

解析 如右图所示，由余弦定理可得：

AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，

∴AC＝107(km)．

答案 107

8．如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________n mile/h.

解析 设航速为v n mile/h

1在△ABS中，AB＝2v，BS＝82，∠BSA＝45°，

12v82由正弦定理得：sin30°＝sin45°，

∴v＝32(n mile/h)．

答案 32

9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B

的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．

解析 在△BCD中 ，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，BCCD∠DBC＝30°，sin45°＝sin30°，

CDsin45°BC＝sin30°＝102(米)．

AB在Rt△ABC中，tan60°＝BC，AB＝BCtan60°

＝106(米)．

答案 106

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

10．(2014·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？

解 在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝106，由正弦定理，CDsin45°得BC＝sin30°＝203.

3AB在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝203×2＝30(米)，所以升旗速度v＝t＝3050＝0.6(米/秒)．

11.

如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？

解 由题意，知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在△DAB中，由正弦定理，得

DBAB＝，

sin∠DABsin∠ADB于是DB＝＝AB·sin∠DAB53＋3·sin45°＝sin105°

sin∠ADB53＋3·sin45°

sin45°cos60°＋cos45°sin60°533＋1＝＝103(海里)．

3＋12又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，

在△DBC中，由余弦定理，得

CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC

1＝300＋1 200－2×103×203×2＝900.

得CD＝30(海里)，

30故需要的时间t＝30＝1(小时)，

即救援船到达D点需要1小时．

12.

(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，123cosA＝13，cosC＝5.

(1)求索道AB的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

123解 (1)在△ABC中，因为cosA＝13，cosC＝5，

54所以sinA＝13，sinC＝5.

从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)

5312463＝sinAcosC＋cosAsinC＝13×5＋13×5＝65.

ABACAC由正弦定理sinC＝sinB，得AB＝sinB×sinC＝

1 260463×5＝1 040(m)．

65所以索道AB的长为1 040 m.

(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得

12d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×13＝200(37t2＋70t＋50)，

1 04035因0≤t≤130，即0≤t≤8，故当t＝37(min)时，甲、乙两游客距离最短．

BCACAC1 2605(3)由正弦定理sinA＝sinB，得BC＝sinB×sinA＝63×13＝500(m)．乙从B65出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.

5007101 250设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤v－50≤3，解得43625≤v≤14，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的1 250625速度应控制在[43，14](单位：m/min)范围内．