高一数学重点知识点系列-正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理

一、三角形中的各种关系

设ABC的三边分别是a,b,c，与之对应的三个角分别是A,B,C.则有如下关系：

1、三内角关系

三角形中三内角之和为（三角形内角和定理），即ABC，；

2、边与边的关系

三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两条边的差都小于第三边,即abc,acb,bca；abc,acb,bca；

3、边与角的关系

（1）正弦定理

三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等，即

abc2R（这里，R为ABC外接圆的半径）.

sinAsinBsinC注1：（I）正弦定理的证明：

在ABC中，设BCa,ACb,ABc, 证明：里，R为ABC外接圆的半径）

证：法一（平面几何法）：

在ABC中 ，作CHAB，垂足为H

则在RtAHC中，sinACHCH；在RtBHC中，sinB

ACBCabc2R（这sinAsinBsinC

CHbsinA,CHasinB

bsinAasinB 即ab

sinAsinB同理可证：bc

sinBsinC于是有abc

sinAsinBsinC作ABC的外接圆⊙O，设其半径为R

连接BO并延长，则可得到⊙O的直径BD，连接DA

因为在圆中，直径所对的圆周角是直角

所以DAB90o

于是在RtDAB中，sinDABc

BD2R又因为在同一圆中，同弧所对的圆周角相等

所以DC

ccc2R

csinCsinD2Rabc2R（这里，R为ABC外接圆的半径）

sinAsinBsinC故法二（平面向量法）

（Ⅱ）正弦定理的意义：

正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的正弦值之间的一个关系式，也就是任意三角形的边角关系.

（Ⅲ）正弦定理适用的范围：

（i）已知三角形的两角及一边，解三角形；

（ii）已知三角形的两边及其中一边所对应的角，解三角形；

（iii）运用a:b:csinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系.

注2：正弦定理的一些变式：

（i）a:b:csinA:sinB:sinC；

（ii）sinAabc；

,sinB,sinC2R2R2R（iii）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC.

注3：已知三角形是确定的，则在运用正弦定理解该三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两条边和其中一条边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解是不确定的，此时可结合平面几何作图的方法、“大边对大角，大角对大边”定理及三角形内角和定理解决问题.

例1.

ABC中，a,b分别为角A,B的对边，若B60o,C75o,a8，则b=＿.

例2.

ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，A3,a3,b1，则c＿.

例3.在ABC中，b3,B60o,c1，求a和A,C.

例4. 在ABC中，已知B2A,BC2,AB223,则A＿.

例5.已知ABC中，角A,B所对的边分别是a,b，若acosBbcosA,则ABC一定是（）

A. 等腰三角形 B. 等边三角形

C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

（2）余弦定理

三角形中任意一条边的平方等于其他两条边平方的和减去这两条边与它们夹角的余弦的乘积的2倍，即

a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.

注1：（I）余弦定理的证明：

法一（平面几何法）

在ABC中 ，作CHAB，垂足为H

则在RtAHC中，sinACHCHAHAH；cosA

ACbACb

CHbsinA,AHbcosA

BHABAHcbcosA

在RtCHB中，由勾股定理有BC2CH2BH2

于是有

a2(bsinA)2(cbcosA)2b2sin2Ac22bccosAb2cos2Ab(sinAcosA)c2bccosAbc2bccosA同理可证：b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.

法二（平面向量法）

（Ⅱ）余弦定理的意义：

222222

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当结合其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

（Ⅲ）余弦定理适用的范围：

（ⅰ）已知三角形的三条边，可求出其三个内角；

（ⅱ）已知三角形的两条边及它们之间的夹角，可求出其第三条边；

（ⅲ）已知三角形的两条边及其中一条边所对应的角，可求出其另两个角及第三条边.

b2c2a2c2a2b2注2：余弦定理的变式：cosA；cosB；2bc2caa2b2c2cosC;

2ab注3：常选用余弦定理判定三角形的形状；

注4：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.

例1. 在ABC中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.

例2.如下图所示，在四边形ABCD中，已知ADCD,AD10,AB14，

BDA60O，BCD135O,求BC的长.

例3. 在ABC中，已知BC5,AC4,cos(AB)7，则cosC()

8A.

11973 B. C. D.

16161616（3）面积公式：

1（i）常规方法：SABCaha；

2111（ii）三角函数法：SABCabsinCacsinBbcsinA；

222

（iii）海伦公式：SABCp(pa)(pb)(pc)rp.

这里，ha为边a的高线；p为ABC周长的一半，即p切圆的半径.

例1. 在ABC中，若已知三边为连续的正整数，且最大角为钝角.

（1）求该最大角；

（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.（参考数据：cos71o0.25）

例2. 在ABC中，内角A,B,C对应的边分别是a,b,c，已知a2c22b2.

abc；r为ABC内2(1)若B4，且A为钝角，求内角A与C的大小；

（2）若b2，求ABC面积的最大值.

二、关于三角形内角的常用三角恒等式

由三角形内角和定理：ABC，有A(BC)

由此可得到：sinAsin(BC),cosAcos(BC)；

ABC，

222又于是得到：sinABCABC，cossin.

cos2222三、三角形的度量问题：即所谓的求边、角、周长、面积、圆半径等问题

（1）求角角边的适用定理是正弦定理；

（2）求边边角的适用定理是正弦定理或余弦定理；

（3）求边边边、边角边的适用定理是余弦定理.

注：在解决“边边角”

(a,b,A)类型的题目时，若利用正弦定理求角，则应判定三角形的个数：

假定：A90o，

①若ab，则有一解；

②若ab，则当absinA时，有两解；当absinA时，有一解；当absinA时，无解；

假定：A90o，

①若ab，则有一解；

②ab，则无解.

四、三角形形状的判定方法

（1）角的判定；

（2）边的判定；

（3）综合判定；

（4）余弦定理判定.

注：余弦定理判定法：若c是ABC的最大边，则：

①a2b2c2ABC是锐角三角形；

②a2b2c2ABC是钝角三角形；

③a2b2c2ABC是直角三角形.

注：关于锐角三角形有以下等价结论：

三角形是锐角三角形三内角都是锐角任意两角和都是钝角三内角的余弦值均为正值任意两条边的平方和都大于第三边的平方.

五、高考真题整理

1.设ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c2，b6，B120O，则a（）

A.

6 B.

2 C.

3 D.

2

2.如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值是（）

3537 B. C. D.

21848A.

3.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若(3bc)cosAacosC，则cosA_____.

4、在ABC中，B1，BC边上的高等于BC，则cosA_____.

434，55、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若cosAcosC5，a1，则b_____.

136、已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_____.

7、在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.

8、在ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，已知c2,C3.

（1）若ABC的面积等于3，求a,b；

（2）若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积.

9、设函数f(x)sinxcosxsin2(x)（xR）.

4（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c. 若Cf()0，c2，求ABC面积的最大值.

2

310、已知向量m(,sinx)，n(1,sinx3cosx)，函数f(x)mn.

2（1）试求函数f(x)的单调递增区间；

（2）若ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，内角B满足f(B)3，且b3，试求ABC面积的最大值.

11、在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a4，cosA573，sinB，c4.

164（1）求b；

（2）求ABC的周长.

12、设ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知c3，acosAbcosB.

（1）求角A的大小；

（2）如图所示，在ABC的外角ACD内取一点P，使得PC2. 过点P分别作直线CA、CD的垂线，垂足分别是M、N. 设PCA，求PMPN的最大值及此时的取值.

M

A

P

B

C N

D

13、ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知2cosC(acosBbcosA)c.

（1）求C；

（2）若c7，ABC的面积为

14、在ABC中，a2c2b22ac.

（1）求B的大小；

（2）求2cosAcosC的最大值.

33，求ABC的周长.

2

15、ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知向量m(a,3b)与n(cosA,sinB)平行.

（1）求A；

（2）若a7，b2，求ABC的面积.

216、如图，已知扇形的圆心角AOB，半径为42，若点C是AB上一动3点（不与点A，B重合）．

（1）若弦BC4(31)，求BC的长；

（2）求四边形OACB面积的最大值．

【解析】（1）在OBC中，BC4(31)，OBOC42

由余弦定理，有OB2OC2BC2323216(423)3233cosBOC

2OBOC232642∴BOC6

于是的长为64222

32（2）设AOC，(0,)

3

2则BOC

3于是四边形OACB的面积S四边形OACBSAOCSBOC

11OAOCsinAOCOBOCsinBOC

221124242sin4242sin()

22316sin16[31cos()sin]

2224sin83cos

163sin()

62又(0,)

3∴5(,)

6666故当

2，即时，四边形OACB的面积最大，且最大值为163

317、在△ABC中，若AB2，AC2BC，求SABC的最大值.

a2c2b2a242a24a2【解析】（法一）由余弦定理，有cosB

2ac4a4aSABC114a2216a2168a2a42

acsinBa21cosBa1()a2224a16aa424a216(a212)2128

1616

abca2a2222a222 又由三角形三边关系，有：，即acba22a128822

16故当a212，即a23时，SABC最大，且[SABC]max（法二）∵pabca2a2

22∴paa2a22aa2a

22pba2a2a2a22a

22pca2a2a2a22

22于是由海伦公式，有：SABCp(pa)(pb)(pc)

2aa22aa2a2a2a2a22aa22aa2a2a2a2a2

()()22222222a242a4a242a4a424a216(a212)2128

441616abca2a2222a222 又由三角形三边关系，有：，即acba22a128822

16故当a212，即a23时，SABC最大，且[SABC]max