两角和与差的余弦、正弦、正切公式

课题

两角和与差的余弦、正弦、正切公式

1．注意到()，由公式C(α+β).，可以推出：

以上公式即为两角和的余弦公式，简记为C(α+β).

cos()coscossinsin

2．由C(α+β).和C(α+β).及诱导公式（五）和诱导公式（六），可以推出两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).

sin()sincoscossin

sin()sincoscossin

3．推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,利用同角三角函数关系式，化弦为切得到两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).

tan(α+β)=tantan,

1tantantantan.

1tantantan(α-β)=

总结：

☆ C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式

注意角的变换及公式的灵活运用，如();2()(),☆

()()等。222☆ 理解这6个公式的逻辑联系：

例1：化简求值：

(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；

ππ2π(2)sinx＋3＋2sinx－3－3cos3－x；

(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.

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六个公式之间的逻辑关系cos()costansin()tansin

1＋16°)＝sin 30°解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＝.

2ππππ2π2ππ(2)原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－3coscos x－3sinsin x ＝3sin xcos－cos

3333333π2ππ2ππ2π2π3cos－3sinsin x－sin＋3coscos x xsin－3coscos x－3sinsin x ＝33333331331＝3×－3×sin x－－3×cos x＝0.

2222＋37°)＝(3)∵tan 60°＝tan(23°tan 23°＋tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°，

1－tan 23°tan 37°故得tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝3.

sin 15°－cos 15°变式1．化简求值： .

cos 15°＋sin 15°tan 15°－1tan 15°－tan 45°3－45°))解析：原式＝＝ ＝tan(15°＝tan(－30°＝－tan 30° ＝－.

1＋tan 15°1＋tan 45°·tan 15°3题型2 利用公式求值

π3ππ3ππ35－α＝，sin＋β＝，求sin(α＋β)的值． 例2：已知<α<，0<β<，cos454134443ππππππ3πππ34＋β－－α＝＋(α＋β).解析：∵<α<，∴－<－α<0.∵cos－α＝，∴sin－α＝－. 分析：442454442453π53ππ3π3π12＋β＝，∴cos＋β＝－， ∵0<β<，∴<＋β<π， 又∵sin413444413π3ππ3ππ3ππ＋(α＋β) ＝cos＋β－－α ＝cos＋βcos－α＋sin＋βsin－α ∴cos244444441235565656－＝－， 故得－sin(α＋β)＝－，即sin(α＋β)＝. ＝－×＋×135135656565变式2．化简求值：

(1)sin 75°； (2)sin 15°；

(3)若α，β均为锐角，sin α＝253，sin(α＋β)＝，求cos β.

5523216＋2×＋×＝.

22224＋30°解析：(1)原式＝sin(45°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝－30°(2)原式＝sin(45°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝(3)∵α，β为锐角，且sin α＝6－22321×－×＝.

222242535253π，sin(α＋β)＝， ∴cos α＝， 且由sin α＝>，得α>.

555523133π4又，∴cos(α＋β)＝－. ∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]

252254532525＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，＝－×＋×＝.

555525题型3 利用公式解决给值求角问题

113π例3：已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.

7142(1)求tan α的值； (2)求β. 分析：本题中β＝α－(α－β).

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1π43sin α解析：(1)∵cos α＝，0<β<α<， ∴sin α＝，∴tan α＝＝43.

727cos αππ1333(2)∵0<β<α<，∴0<α－β<. ∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.

221414由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

1134333491ππ＝×＋×＝＝. ∵0<β<，所以β＝.

7147147×14223变式3．(1)已知tan α＝2，tan β＝3，且α，β都是锐角，求α＋β；

(2)已知α，β均为锐角，sin α＝510，cos β＝，求α－β.

510tan α＋tan β2＋3解析：(1)tan(α＋β)＝ ＝＝－1.

1－tan αtan β1－2×3∵α，β都是锐角， ∴0<α＋β<π，由上式知α＋β＝(2)∵α，β都是锐角，sin α＝3π.

451025310，cos β＝， ∴cos α＝，sin β＝.

510510π∵α，β都是锐角，且sin α

2∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝510253102π×－×＝－. ∴α－β＝－.

51051024题型4 化简与证明

例4：求证：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β.

证明：左边＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin2αcos2β－cos2αsin2β

＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β ＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β ＝sin2α－sin2β＝右边．

变式4．在斜△ABC中，求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.

分析：在△ABC中，A＋B＋C＝π.

证明：在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，

∴tan A＋tan B＝－tan C， ∴tan A＋tan B＝－tanC(1－tan A·tan B)，

1－tan Atan B即tan A＋tan B＝－tan C＋tan A·tan B·tan C，

亦即tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.

课堂练习：

练习1：cos(450+300)=

练习2：cos200cos700-sin200sin700=

6－2答案：练习：1. 练习：2.0

4006＋26－2答案：3. 4.

443答案：

3

练习3：sin(6045) 练习4：

sin(

60045)

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1．下列式子中，正确的个数为( )

①sin(α－β)＝sin α－sin β； ②cos(α＋β)＝cos α－cos β；

③sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； ④cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值为( )

1133A．－ B. C. D．－

22221－37°)，＝sin(－30°)＝－sin 30°解析：方法一 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(7°＝－，故选A.

21＋37°)＝cos 120°方法二 原式＝cos 83°cos 37°－sin 83°sin 37°＝cos(83°＝－cos 60°＝－，故选A.

23．化简sin α－3cos α得( )

ππππα＋ B．2sinα－ C．2cosα－ D．2sinα－ A．2sin3663π13α－.故选D. 解析：sin α－3cos α＝2sin α－cos α ＝2sin3223－tan 18°4．逆用两角差的正切公式求的值等于( )

1＋3tan 18°A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24°

解析：

1＋tan 15°5．逆用两角和的正切公式求的值．

1－tan 15°1＋tan 15°tan 45°＋tan 15°＋15°)＝tan 60°解析：＝ ＝tan(45°＝3.

1－tan 15°1－tan 45°tan 15°

巩固练习：

3－tan 18°tan 60°－tan 18°－18°)＝tan 42°＝ ＝tan(60°，故选A.

tan 18°1＋3tan 18°1＋tan 60°一、选择题：

1．化简sin119osin181osin91osin29o等于（ ）

Ａ．

12Ｂ．

12 Ｃ．3

2 Ｄ．3

22.已知tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,则tanα·tanβ等于（ ）

（A）2 （B)1 (C) (D)4

1225π11π11π5πcos－cossin的值是( )

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A．－2

2 B．2

2 C．－sinπ

12 D．sinπ

124.若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α－2β）等于( )

A．1 B．－1 C．0 D．±1

二、填空题：

2331.已知sin,(,),cos,(,) ；

)，cos(32523122.已知锐角、满足sin,cos()，则sin ；

4133..函数y7sinx24cosx的最大值为_____；

134、 若cos,,2,则sin________.

5323tan156、 _________.

13tan157、①已知13cossin1，则 ； ②已知sinsin0，则 ；

22③已知sin3sin1，则 ；

8、 coscossinsin_________.

00009.求值

tan35tan253tan35tan25___

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