admin 管理员组

文章数量: 887021


2024年2月29日发(作者：达内培训机构可靠吗)

1.1 正弦定理

ABCπ1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，＋＋＝.

2222πab2．在Rt△ABC中，C＝，则＝sin_A，＝sin_B.

2cc3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

abc4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，sin Asin Bsin C这个比值是三角形外接圆的直径2R.

1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．

2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.

bsin A

a＝bsin A a≥b

a

两解(一锐角，

A为锐角

无解 一解(直角) 一解(锐角)

一钝角)

a≤b a>b

A为直角

或钝角

无解 一解(锐角)

abc1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：

sin Asin Bsin C(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

a＋b＋cabc(2)＝＝＝＝2R；

sin Asin Bsin Csin A＋sin B＋sin C(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

abc(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

2R2R2R1112．三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B.

2221．在△ABC中，有以下结论：

(1)A＋B＋C＝π；

(2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；

A＋BCπ(3)＋＝；

222A＋BA＋BA＋BCC1(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝.

22222Ctan

21.2 余弦定理

1．余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.

2．余弦定理的推论

b2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c2cos A＝；cos B＝；cos C＝.

2bc2ca2ab3．在△ABC中：

(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝90°；

(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝60°；

(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝135°.

1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

(1)已知两边和夹角，解三角形．

(2)已知三边求三角形的任意一角．

2．余弦定理与勾股定理

余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．

2．余弦定理及其推论

(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A.

b2＋c2－a2(2)cos A＝.

2bc(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

3．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：

A＋BπC(1)A＋B＋C＝π，＝－.

222(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C.

A＋BA＋BCC(3)sin ＝cos ，cos ＝sin .

22221．解斜三角形的常见类型及解法

在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：

已知条件 应用定理 一般解法

由A＋B＋C＝180°，求角A；

一边和两角

由正弦定理求出b与c.在有

正弦定理

(如a，B，C)

解时只有一解．

由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再两边和夹角 余弦定理

由A＋B＋C＝180°求出另一

(如a，b，C) 正弦定理

角．在有解时只有一解．

由余弦定理求出角A、B；再三边

余弦定理 利用A＋B＋C＝180°，求出

(a，b，c)

角C.在有一解时只有一解.

由正弦定理求出角B；由A＋两边和其中一边的对角如 余弦定理 B＋C＝180°，求出角C；再(a，b，A) 正弦定理 利用正弦定理或余弦定理求

c.可有两解、一解或无解.

2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径

(1)化边为角；

(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．


本文标签： 三角形 定理 正弦 余弦定理 已知

版权声明：本文标题：正(余)弦定理必背公式 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://www.freenas.com.cn/free/1709181074h539340.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。